Matrice à diagonale dominante
En algèbre linéaire, une matrice carrée à coefficients réels ou complexes est dite à diagonale dominante lorsque le module de chaque terme diagonal est supérieur ou égal à la somme des modules des autres termes de sa ligne. Si , on a alors :
De la même manière, A est dite à diagonale strictement dominante lorsque :
La matrice
vérifie
C'est donc une matrice à diagonale dominante.
La matrice
vérifie
Ce n'est donc pas une matrice à diagonale dominante.
La matrice
vérifie
C'est donc une matrice à diagonale strictement dominante.
Lemme de Hadamard
Ne doit pas être confondu avec Lemme de Hadamard.
Le « lemme de Hadamard »[1] est un cas particulier du théorème de Gerschgorin. Inversement, il peut servir de lemme pour démontrer ce dernier.
Si est une matrice à diagonale strictement dominante alors A est inversible.
Raisonnons par contraposition, en supposant A non inversible. Alors, 0 est valeur propre donc d'après le théorème de Gerschgorin :
- ,
autrement dit : A n'est pas à diagonale strictement dominante.
Corollaire
Soit A une matrice hermitienne.
- Si A est à diagonale dominante alors, elle est positive si (et seulement si) ses coefficients diagonaux sont des réels positifs ou nuls.
- Si A est à diagonale strictement dominante alors, elle est définie positive si (et seulement si) ses coefficients diagonaux sont des réels strictement positifs[2].
Le sens « seulement si » résulte immédiatement de la définition des matrices positives et définies positives. Réciproquement, supposons que est une matrice hermitienne à diagonale dominante dont les coefficients diagonaux sont des réels positifs ou nuls (resp. strictement positifs). Soit λ une valeur propre (nécessairement réelle) de A. Alors,
- (resp. ).
Comme est positif ou nul (resp. strictement positif), λ l'est aussi, ce qui prouve que A est positive (resp. définie positive).
Le second point peut aussi se déduire du premier et du lemme d'Hadamard.
Notes et références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Diagonally dominant matrix » (voir la liste des auteurs).
- ↑ Démontré par Lévy (1881) et Desplanques (1887), puis redécouvert par maints auteurs dont Minkowski (1900), Hadamard (1903) et Brauer (1946), cf. (en) Richard S. Varga, Geršgorin and His Circles, Springer, , 230 p. (ISBN 978-3-540-21100-6, lire en ligne), p. 31
- ↑ Jean-Étienne Rombaldi, Leçons d'oral pour l'agrégation de mathématiques : Première épreuve : les exposés (lire en ligne), p. 131, exercice (corrigé) 14.3, dans le cas d'une matrice symétrique réelle.
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