Groupe super-résoluble

En algèbre, un groupe est dit super-résoluble s'il possède une suite normale

${\displaystyle G=G_{0}\supset G_{1}\supset \dots \supset G_{r}=\{e\}}$

(avec G_i normal dans G) dont tous les quotients G_i /G_i+1 sont monogènes.

Détaillons les implications strictes :

• Tout groupe super-résoluble est polycyclique (en) (notion plus faible où l'on demande seulement que chaque G_i+1 soit normal dans G_i).
• Tout groupe polycyclique est résoluble (notion encore plus faible où de plus, on demande seulement que les quotients G_i/G_i+1 soient abéliens). Plus précisément, un groupe est polycyclique si et seulement s'il est résoluble et tous ses sous-groupes sont de type fini.
• Le groupe alterné A₄ est polycyclique (car fini et résoluble) mais pas super-résoluble, puisque son seul sous-groupe normal non trivial (le groupe de Klein) n'est pas cyclique.
• Pour tout n ≥ 2, le groupe de Baumslag-Solitar BS(1, n) = ⟨a, b | bab⁻¹ = aⁿ⟩ est résoluble mais pas polycyclique, car son sous-groupe dérivé est ℤ[1/n].

• Tout groupe nilpotent dont l'abélianisé est de type fini est super-résoluble.
• Tout groupe métacyclique (en) est super-résoluble. En particulier, tout Z-groupe (en) (groupe fini dont les sous-groupes de Sylow sont cycliques) est super-résoluble.
• La classe des groupes super-résolubles est stable par sous-groupes, quotients et produits finis.
• Le groupe dérivé d'un groupe super-résoluble est nilpotent.
• Tout groupe fini super-résoluble possède une suite normale dont tous les quotients sont d'ordre premier. On peut même ordonner ces nombres premiers : pour tout nombre premier p, si π désigne l'ensemble des nombres premiers qui lui sont strictement supérieurs, tout groupe fini super-résoluble a un unique π-sous-groupe de Hall (i. e. dont l'ordre a pour facteurs premiers des éléments de π et l'indice n'est divisible par aucun élément de π). Un tel groupe est donc « à tour de Sylow ordonnée »^[1],[2] (tandis que A₄, par exemple, n'a qu'une tour de Sylow non ordonnée).
• Un groupe fini G est super-résoluble si et seulement si tous ses sous-groupes (y compris lui-même) vérifient la « réciproque du théorème de Lagrange » : pour tout diviseur d de l'ordre d'un sous-groupe H de G, H a au moins un sous-groupe d'ordre d^[3].
• Tout groupe fini super-résoluble est monomial (en), c'est-à-dire que toutes ses représentations complexes irréductibles sont induites par des représentations de degré 1 de sous-groupes.
• Tout sous-groupe maximal d'un groupe super-résoluble est d'indice premier.
• Un groupe fini est super-résoluble si (et seulement si) tous ses sous-groupes maximaux sont d'indices premiers.
• Un groupe fini est super-résoluble si et seulement si toutes ses chaînes maximales de sous-groupes ont même longueur.
• Tout groupe super-résoluble d'ordre n a un algorithme de transformation de Fourier discrète de complexité en temps O(n log n)^[4].

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Supersolvable group » (voir la liste des auteurs).
• (en) Reinhold Baer, « Supersoluble groups », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 6,‎ 1955, p. 16-32 (lire en ligne)
• (en) Derek J. S. Robinson (de), A Course in the Theory of Groups, coll. « GTM » (n^o 80), 1996, 2^e éd. (lire en ligne), p. 150-151

• (en) Vipul Naik, « Supersolvable group », sur groupprops.subwiki.org
• (en) C. J. E. Pinnock, « Supersolubility and some characterizations of finite supersoluble groups : MSci project », 1998

• (en) Eugene Schenkman, Group Theory, Krieger, 1975
• (en) Roland Schmidt, Subgroup Lattices of Groups, de Gruyter, 1994 (lire en ligne)

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