En mathématiques, un espace de Lorentz, noté
est une généralisation de la notion d'espace de Lebesgue (notés
).
Comme les espaces
, un espace de Lorentz est caractérisé par sa norme (techniquement une quasi-norme) qui encode des informations sur la masse d'une fonction, de manière analogue à la norme
. La norme de Lorentz offre un contrôle plus strict sur les deux composantes qui forment la masse d'une fonction (son étendue et sa norme ponctuelle) que les normes
. La norme de Lorentz est invariante sous des réarrangements arbitraires des valeurs d'une fonction.
Définition
Par une quasi-norme
L'espace de Lorentz sur un espace mesurable
est défini l'espace des fonctions mesurables à valeurs complexes
sur
tel que la quasinorme suivante soit finie
![{\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}(X,\mu )}=p^{\frac {1}{q}}\left\|t\mu \{|f|\geq t\}^{\frac {1}{p}}\right\|_{L^{q}\left(\mathbf {R} ^{+},{\frac {dt}{t}}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/382b2fda2a490947749efa2f33a956bb7765ab14)
où
et
. Ainsi, lorsque
![{\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}(X,\mu )}=p^{\frac {1}{q}}\left(\int _{0}^{\infty }t^{q}\mu \left\{x:|f(x)|\geq t\right\}^{\frac {q}{p}}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}=\left(\int _{0}^{\infty }{\bigl (}\tau \mu \left\{x:|f(x)|^{p}\geq \tau \right\}{\bigr )}^{\frac {q}{p}}\,{\frac {d\tau }{\tau }}\right)^{\frac {1}{q}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fce63475511be5469073652f3f4b15a502383504)
et quand
,
![{\displaystyle \|f\|_{L^{p,\infty }(X,\mu )}^{p}=\sup _{t>0}\left(t^{p}\mu \left\{x:|f(x)|>t\right\}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de85318d33a82adb40dbe8a5583c31e07dfe92a0)
Il est également classique de fixer
.
Par le réarrangement décroissant
La quasinorme de Lorentz est invariante par réarrangement des valeurs de la fonction
. En particulier, étant donné une fonction mesurable à valeurs complexes
définie sur un espace mesurable,
, son réarrangement décroissant,
est défini par
![{\displaystyle f^{\ast }(t)=\inf\{\alpha \geq 0:\mu _{f}(\alpha )\leq t\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50501c500a2a7af5a1bee4bfc372269292c93772)
où
est la fonction de distribution de
, donnée par
, - Les deux fonctions
et
sont équimesurables, c'est-à-dire que![{\displaystyle \mu {\bigl (}\{x\in X:|f(x)|>\alpha \}{\bigr )}=\lambda {\bigl (}\{t>0:f^{\ast }(t)>\alpha \}{\bigr )},\quad \alpha >0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0efc441548fd42f8dbd2b857139476e757f71a8)
où
est la mesure de Lebesgue sur
. Le réarrangement symétrique décroissant associé, qui est également équimesurable avec
, est défini par
Compte tenu de ces définitions, pour
et
, les quasinormes de Lorentz sont données par
![{\displaystyle \|f\|_{L^{p,q}}={\begin{cases}\left(\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left(t^{\frac {1}{p}}f^{\ast }(t)\right)^{q}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}&q\in (0,\infty ),\\\sup \limits _{t>0}\,t^{\frac {1}{p}}f^{\ast }(t)&q=\infty .\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31aab02841792e97be863e8fd99009e1349abc4)
Structure
Espace de Banach
Quasi-norme de Lorentz
Norme de Lorentz
Espace d'interpolation
Les espaces de Lorentz généralisent la notion d'espace
au sens où, pour tout
,
. De plus, l'espace
coïncide avec l'espace
faible (espace de Marcinkiewicz). Ce sont des espaces quasi-Banach (c'est-à-dire des espaces quasi-normés qui sont aussi complets) et sont normables pour
et
. Lorsque
,
est muni d'une norme, mais il n'est pas possible de définir une norme équivalente à la quasi-norme de
. En effet, si l'on définit les fonctions
et
![{\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}\chi _{(0,1)}(x)\quad {\text{et}}\quad g(x)={\tfrac {1}{1-x}}\chi _{(0,1)}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef4955a44f5308a37987f45eac9b17512d826f99)
dont la quasi-norme
vaut 1, alors que la quasi-norme de leur somme
vaut 4.
L'espace
est inclus dans
dès que
. Les espaces de Lorentz sont des espaces d'interpolation entre
et
.
Espace dual
Si
est un espace de mesure σ-fini non atomique, alors
pour
, ou
;
pour
, ou
;
pour
.
où
et
sont les exposants conjugués de
et
. On a par exemple
pour
,
pour
, et
.
Propriétés
Inégalité de Hölder
où
,
,
, et
.
Inégalité de Hardy-Littlewood
Caractérisation dyadique
Les éléments suivants sont équivalents pour
.
.
où
a un support disjoint avec la mesure
,
presque partout dans le support de
, et
.
presque partout où
et
.
Articles connexes
Références
Remarques
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