Conjecture de Manin
En mathématiques, la conjecture de Manin décrit la distribution de points rationnels sur une variété algébrique par rapport à une fonction de hauteur appropriée. Elle a été proposée par Yuri I. Manin et ses collaborateurs[1] en 1989.
Conjecture
Soit une variété de Fano définie sur un corps de nombres , soit une fonction de hauteur relative au diviseur anticanonique. Supposons que est Zariski-dense dans . Alors il existe un sous-ensemble (Zariski) ouvert non vide tel que la fonction de comptage de -points rationnels de hauteur bornée, définie pour :
satisfasse
en dénote le rang du groupe de Picard de et est une constante positive. Peyre conjecture en 1995 une expression pour cette dernière[2].
La conjecture de Manin a été démontrée pour des familles particulières de variétés[3], mais reste ouverte en général.
Références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Manin conjecture » (voir la liste des auteurs).
- ↑ Franke, Manin et Tschinkel, « Rational points of bounded height on Fano varieties », Inventiones Mathematicae, vol. 95, no 2, , p. 421–435 (DOI 10.1007/bf01393904, MR 974910, zbMATH 0674.14012)
- ↑ Peyre, « Hauteurs et mesures de Tamagawa sur les variétés de Fano », Duke Mathematical Journal, vol. 79, no 1, , p. 101–218 (DOI 10.1215/S0012-7094-95-07904-6, MR 1340296, zbMATH 0901.14025)
- ↑ T. D. Browning, Analytic number theory. A tribute to Gauss and Dirichlet. Proceedings of the Gauss-Dirichlet conference, Göttingen, Germany, June 20–24, 2005, vol. 7, Providence, RI, American Mathematical Society, coll. « Clay Mathematics Proceedings », , 39–55 p. (ISBN 978-0-8218-4307-9, MR 2362193, zbMATH 1134.14017), « An overview of Manin's conjecture for del Pezzo surfaces »
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