Tšebyšovin summaepäyhtälö

Matematiikassa Pafnuti Tšebyšovin mukaan nimetyn Tšebyšovin summaepäyhtälön mukaan jos

a 1 ≥ a 2 ≥ ⋯ ≥ a n {\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}}

ja

b 1 ≥ b 2 ≥ ⋯ ≥ b n , {\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},}

on

n ∑ k = 1 n a k b k ≥ ( ∑ k = 1 n a k ) ( ∑ k = 1 n b k ) . {\displaystyle n\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\geq \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).}

Vastaavasti jos

a 1 ≥ a 2 ≥ ⋯ ≥ a n {\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}}

ja

b 1 ≤ b 2 ≤ ⋯ ≤ b n , {\displaystyle b_{1}\leq b_{2}\leq \cdots \leq b_{n},}

on

n ∑ k = 1 n a k b k ≤ ( ∑ k = 1 n a k ) ( ∑ k = 1 n b k ) . {\displaystyle n\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).}

Tšebyšovin summaepäyhtälön voidaan todistaa esimerkiksi suuruusjärjestysepäyhtälön avulla.

Tšebyšovin summaepäyhtälöstä on olemassa myös versio integroituville funktioille:

Jos f ja g ovat reaaliarvoisia integroituvia funktioita välillä [0,1], jotka ovat molemmat joko kasvavia tai väheneviä, on

∫ f g ≥ ∫ f ∫ g . {\displaystyle \int fg\geq \int f\int g.\,}

Tulos voidaan yleistää minkä tahansa avaruuden integraaleille samoin kuin numeroituvan monelle integrandille.