QR-hajotelma
QR-hajotelma on eräs matriisihajotelma, jolla siis pyritään ilmaisemaan annettu matriisi jollakin tavoin yksinkertaisempien matriisien tulona.[1] QR-hajotelma voidaan muodostaa mille tahansa matriisille. Kompleksikertoimisen -matriisin QR-hajotelma on tulo
- ,
missä on unitaarimatriisi ja on yläkolmiomatriisi. Erityisesti reaalikertoimisen matriisin A tapauksessa on ortogonaalimatriisi. Koska kahden kolmiomatriisin tulo on myös kolmiomatriisi, QR-hajotelma voi sisältää myös useita yläkolmiomatriiseja, jolloin
Hajotelma voidaan teoreettisesti perustaa Gramin–Schmidtin ortonormeeraukseen, mutta käytännössä se muodostetaan kertomalla vasemmalta joko Householderin peilausmatriiseilla tai Givensin rotaatiomatriiseilla.
QR-hajotelma on erittäin käyttökelpoinen työkalu lineaariavaruuksien projektioiden käsittelyssä ja sitä käytetään yleisesti myös matriisien numeerisessa käsittelyssä. QR-hajotelmasta voidaan päätellä matriisin rangi eli kuva-avaruuden dimensio ja hajotelman matriisista löytyy myös kuva-avaruuden kanta ortonormeerattuna.
Katso myös
- LU-hajotelma
Lähteet
- ↑ Lyhyt kertaus matriisialgebraan, s. 5