Osamäärän derivoimissääntö on matemaattinen kaava, jonka avulla voidaan laskea derivaatta funktiolle, joka on esitettävissä kahden helpommin derivoitavan funktion osamääränä.
Lauseen muotoilu
Olkoon funktio
esitettävissä funktioiden
ja
osamääränä
. Olkoot lisäksi funktiot
ja
derivoituvia pisteessä
ja
. Tällöin
.
Todistus
Derivaatan määritelmän mukaan
Sijoitetaan funktion
tilalle osamäärä
Lavennetaan osamäärät samannimisiksi
Siirretään yhteinen nimittäjä koko osamäärän nimittäjään
Lisätään ja vähennetään termi
Otetaan
ja
yhteisiksi tekijöiksi
Supistetaan termillä
Siirretään raja-arvo termeihin erikseen (sillä summan raja-arvo on raja-arvojen summa, samoin osamäärän raja-arvo on raja-arvojen osamäärä)
Havaitaan, että näin syntyneet raja-arvot ovat funktioiden
ja
erotusosamäärien raja-arvoja, eli derivaattoja
.
Esimerkkejä
Esimerkki 1
Määritä funktion
,
derivaatta pisteessä
.
Funktio
voidaan selvästi esittää kahden funktion,
ja
osamääränä. Molemmat funktiot ovat derivoituvia pisteessä
ja funktiolla
ei ole nollakohtia. Käytetään siis osamäärän derivoimissääntöä.
Lasketaan ensin funktioiden
ja
derivaattafunktiot:
,
. Osamäärän derivoimissäännön mukaan seuraava pätee:
Sijoittamalla derivaatat lausekkeeseen saadaan
Esimerkki 2
Määritä funktion
derivaatta pisteessä
.
Emme voi käyttää osamäärän derivoimissääntöä, sillä
ei ole derivoituva pisteessä
, mutta saamme sievennettyä lausekkeen muotoon
, jonka derivaatta jokaisessa pisteessä on nolla.
Tämä esimerkki osoittaa, että vaikka osamäärän derivoimissääntö onkin kätevä, se ei aina ole paras tapa derivoida funktiota, joka voidaan esittää kahden funktion osamääränä.
Lähteet
- Hurri-Syrjänen, Ritva: Differentiaali- ja integraalilaskenta I.1 wiki.helsinki.fi. Syksy 1999. Arkistoitu 4.3.2016. Viitattu 3.10.2011. (suomeksi)