Mandelstamin muuttujat

Mandelstamin muuttujat ovat kinemaattisia muuttujia, jotka ovat Lorentz-invariantteja (inertiaalikoordinaatistosta riippumattomia). Ne kuvaavat kahden elastisesti törmäävän hiukkasen energioita ja liikemääriä.^[1] Elastisuus tarkoittaa sitä, että kokonaisenergia ja -liikemäärä pysyvät samoina ennen ja jälkeen törmäyksen.

Mandelstamin muuttujia kuvataan kirjaimilla s, t ja u:

${\displaystyle s=(p_{1}+p_{2})^{2}=(p_{3}+p_{4})^{2}\,\!}$

${\displaystyle t=(p_{1}-p_{3})^{2}=(p_{2}-p_{4})^{2}\,\!}$

${\displaystyle u=(p_{1}-p_{4})^{2}=(p_{2}-p_{3})^{2}\,\!}$,

missä ${\displaystyle p_{1}}$ ja ${\displaystyle p_{2}}$ ovat törmäävien hiukkasten neliliikemäärät ja ${\displaystyle p_{3}}$ ja ${\displaystyle p_{4}}$ ovat hiukkasten neliliikemäärät törmäysten jälkeen.^[2] Mandelstamin muuttujien summa on sama kuin törmäävien ja sironneiden hiukkasten massojen neliöiden summa^[3]

${\displaystyle s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}}$.

Kun törmäystä tarkastellaan massakeskipistekoordinaatistosta, niin s:n neliöjuuri tulkitaan hiukkasten kokonaisenergiaksi

${\displaystyle {\sqrt {s}}=E_{1}^{*}+E_{2}^{*}=E_{\text{tot}}^{*}}$,

missä ${\displaystyle E_{1}^{*}}$ ja ${\displaystyle E_{2}^{*}}$ ovat törmäävien hiukkasten energiat ja yläindeksissä oleva *-merkki tarkoittaa sitä, että energia on massakeskipiste-energia. Vaihtoehtoinen tapa tarkastella tilannetta on käyttää laboratoriokoordinaatistoa, jossa siis toinen hiukkanen on koordinaatiston origossa ja sen tulkitaan olevan paikallaan.