Ehrenfestin teoreema

Ehrenfestin teoreema on Paul Ehrenfestin kehittelemä menetelmä, jolla lasketaan hiukkasen observaabeleiden odotusarvojen riippuvuutta ajasta.

Ehrenfestin mukaisesti observaabelin ${\displaystyle \scriptstyle A}$ odotusarvon ${\displaystyle \scriptstyle \langle A\rangle }$ riippuvuutta ajasta kuvaa yhtälö ^[1]

${\displaystyle {\frac {\partial \langle A\rangle }{\partial t}}={\Big \langle }{\frac {\partial A}{\partial t}}{\Big \rangle }+{\frac {i}{\hbar }}\langle [{\hat {H}},{\hat {A}}]\rangle }$,

missä ${\displaystyle i}$ on imaginaariosa, ${\displaystyle \scriptstyle \hbar }$ Planckin vakion muunnos ja merkintä ${\displaystyle \scriptstyle [{\hat {H}},{\hat {A}}]}$ tarkoittaa Hamiltonin operaattorin ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {H}}}$ ja operaattorin ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {A}}}$ kommutaattoria. Hamiltonin operaattori taas kirjoitetaan muodossa ${\displaystyle \scriptstyle H={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V({\vec {x}})}$, missä siis ${\displaystyle \scriptstyle p}$ on liikemäärä, ${\displaystyle \scriptstyle m}$ massa ja ${\displaystyle \scriptstyle V({\vec {x}})}$ potentiaali.

Ehrenfestin teoreeman mukaan paikan ${\displaystyle x}$ odotusarvo ajan derivaattana on ^[2]

${\displaystyle {\frac {d\langle x\rangle }{dt}}={\Big \langle }{\frac {p}{m}}{\Big \rangle }}$

ja liikemäärän ${\displaystyle p}$ odostusarvo ajan derivaattana

${\displaystyle {\frac {d\langle p\rangle }{dt}}=-{\Big \langle }{\frac {dV({\vec {x}})}{dx}}{\Big \rangle }}$.

• Ehrenfest's theorem
• Proof of Ehrenfest's Theorem (Arkistoitu – Internet Archive)