Beheren eta goren

Matematikan, (P, <) multzo partzialki ordenatu baten S azpimultzo bat izanik, horren beherena, existitzen bada, P-ren elementu maximoa da, S-ko elementu guztiak baino txikiago edo berdinak dena. Beste hitzez, S-ko behe-bornerik handiena da. S multzoaren beherena inf(S) adierazten da.

Gorena, existitzen bada, P-ren elementu minimoa da, S-ko elementu guztiak baino handiago edo berdina dena. Hots, S-ko goi-bornerik txikiena da. S multzoaren gorena sup(S) adierazten da.

Propietateak

• Gorena eta beherena existitzen badira, orduan bakarrak dira.
• ${\displaystyle \sup(A\cup B)=\max\{\sup(A),\sup(B)\}}$, aipaturiko gorenak existitzen badira
• ${\displaystyle \inf(S)=-\sup(-S)}$ , non ${\displaystyle -S=\{-s|s\in S\}}$ den
• Multzo batek maximoa du, baldin eta soilik bere gorena barnean hartzen badu
• Multzo batek minimoa du, baldin eta soilik bere beherena barnean hartzen badu
• Zenbaki errealen multzoan, goi-bornatutako edozein azpimultzok (multzo hutsa izan ezik) gorena du.

Adibideak

Beherena

${\displaystyle \inf \,\{1,2,3\}=1.}$

${\displaystyle \inf \,\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=0.}$

${\displaystyle \inf \,\{x\in \mathbb {Q} :x^{3}>2\}={\sqrt[{3}]{2}}.}$

${\displaystyle \inf \,\{(-1)^{n}+1/n:n=1,2,3,\dots \}=-1.}$

Gorena

• ${\displaystyle \sup\{1,2,3\}=3\,}$
• ${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {R} |0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} |0\leq x\leq 1\}=1\,}$
• ${\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {Q} |x^{2}<2\}={\sqrt {2}}\,}$
• ${\displaystyle \sup\{(-1)^{n}-{\frac {1}{n}}|n\in \mathbb {N} \}=1\,}$

Erreferentziak

• Supremum, mathworld.wolfram.com webgunean.
• Infimum, mathworld.wolfram.com webgunean.

Kanpo estekak

• Datuak: Q17502105
• Multimedia: Infimum and supremum / Q17502105