Teorema de von Staudt–Clausen

En teoría de números, el teorema de von Staudt–Clausen es un resultado que determina la parte fraccionaria de los números de Bernoulli, descubierto independientemente por Karl von Staudt y Thomas Clausen en 1840.

Concretamente, si n es un entero positivo y se suma 1/p al número de Bernoulli B_2n por cada primo p tal que p − 1 divida a 2n, se obtiene un entero, i.e.,

${\displaystyle B_{2n}+\sum _{(p-1)|2n}{\frac {1}{p}}\in \mathbb {Z} .}$

Este hecho permite inmediatamente caracterizar los denominadores de los números de Bernoulli B_2n distintos de cero como el producto de todos los primos p tales que p − 1 divida 2n; consecuentemente los denominadores son libres de cuadrados y divisibles por 6.

Estos denominadores son

6, 30, 42, 30, 66, 2730, 6, 510, 798, 330, 138, 2730, 6, 870, 14322, 510, 6, 1919190, 6, 13530, ... (sucesión A002445 en OEIS).

• Congruencia de Kummer

• Clausen, Thomas (1840), «Theorem», Astronomische Nachrichten 17 (22): 351-352, doi:10.1002/asna.18400172204 .
• Rado, R. (1934), «A New Proof of a Theorem of V. Staudt», J. London Math. Soc. 9 (2): 85-88, doi:10.1112/jlms/s1-9.2.85 .
• von Staudt, Ch. (1840), «Beweis eines Lehrsatzes, die Bernoullischen Zahlen betreffend», Journal für Reine und Angewandte Mathematik 21: 372-374, ISSN 0075-4102, JFM 021.0672cj .

• Weisstein, Eric W. «von Staudt-Clausen Theorem». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.