El teorema de los residuos es consecuencia directa del Teorema integral de Cauchy y forma parte fundamental de la teoría matemática de análisis complejo.
Enunciado
Sea
una función analítica en un dominio simplemente conexo
, excepto en un número finito de puntos
que constituyen singularidades aisladas de
. Sea
una curva en
, simple, cerrada, regular a trozos, con orientación positiva y tal que el dominio que esta define contiene las singularidades de
. Entonces se tiene:
donde
es el Residuo de la función
en el punto singular
.
Demostración
Sea
holomorfa usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann la forma diferencial
es cerrada. Por lo tanto, usando el corolario sobre las diferenciales de forma cerrada, un dominio simplemente conexo, se sabe que la integral
es igual a
siempre que
sea una curva homotópica con
.
En específico, se puede considerar una curva tipo
la cual tiene una rotación alrededor de los puntos
sobre círculos pequeños, cuando se unen todos estos pequeños círculos por medio de segmentos.
Ya que la curva
sigue cada segmento 2 veces con alineación opuesta, solo se necesitan sumar las integrales de
alrededor de los círculos pequeños.
Consecuentemente sea
parametrización de la curva alrededor del punto
, entonces se tiene
, por lo tanto:
donde
, escogido tan extremadamente diminuto, tal que las esferas
están todas desarticuladas y todas en un mismo dominio
. Entonces por medio de la linealidad en todas la singularidades, se demuestra que para toda
:
Sea
fija y aplíquese la serie de Laurent para
en
de tal forma que
, donde c-1, es el coeficiente de
en la serie de Laurent. Entonces tenemos:
Obsérvese que si
, se tiene:
mientras que para
se tiene que los términos de la suma se anulan, debido a que:
Véase también
Enlaces externos
- Weisstein, Eric W. «Residue Theorem». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
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Datos: Q830513 |
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Datos: Q830513