Teorema de Wolstenholme

En matemática, el teorema de Wolstenholme afirma que para un número primo p > 3, la congruencia

${\displaystyle {2p-1 \choose p-1}\equiv 1\,{\bmod {\,}}p^{3}}$

es verdadera, donde la parte izquierda de la igualdad es un coeficiente binomial.
Por ejemplo, con p = 7, dice que 1716 es uno más que un múltiplo de 343. El teorema fue demostrado por Joseph Wolstenholme en 1862;^[1]​ Charles Babbage había mostrado la equivalencia para p² en 1819.^[2]​

No se sabe si un número compuesto cumple el teorema de Wolstenholme. Muy pocos números primos satisfacen la equivalencia para p⁴: los dos únicos valores que la cumplen son: 16843 y 2124679 ((sucesión A088164 en OEIS)), y son llamados números de Wolstenholme.
Este teorema puede ser descompuesto en otros dos resultados:

${\displaystyle (p-1)!\left(1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+...+{1 \over p-1}\right)\equiv 0\,{\bmod {\,}}p^{2}}$
y

${\displaystyle (p-1)!^{2}\left(1+{1 \over 2^{2}}+{1 \over 3^{2}}+...+{1 \over (p-1)^{2}}\right)\equiv 0\,{\bmod {\,}}p.}$

Por ejemplo, con p = 7, el primero de ellos dice que 1764 es un múltiplo de 49, mientras que el segundo dice que 773136 es múltiplo de 7.

Se va a probar la congruencia de Wolstenholme en su forma original. Para ello, se utiliza un caso particular de la identidad de Vandermonde

${\displaystyle {2p \choose p}=\sum _{i=0}^{p}{p \choose i}^{2}=2+\sum _{i=1}^{p-1}{p \choose i}^{2}}$

Se sigue que la congruencia :${\displaystyle {2p \choose p}\equiv 2\,({\bmod {\,}}p^{3})}$ es equivalente a ${\displaystyle \sum _{i=1}^{p-1}{p \choose i}^{2}\equiv 0\,{\bmod {\,}}p^{3}}$.

• [1] Granville, A., Arithmetic Properties of Binomial Coefficients I: Binomial coefficients modulo prime powers, Canadian Mathematical Society Conference Proceedings, vol 20 (1997) pp. 253-275.
• [2] Hardy, G.H., Wright, E.M., An Introduction to the Theory of Numbers, 4th ed., Oxford University Press, 1975.
• [3] Restrepo Mesa, P., On the elemental symmetric functions of 1^{p^k}, 2^{p^k}, \ldots, (p-1)^{p^k}, Mathematical Reflections 4 (2006).