Teorema de Szemerédi
En combinatoria aritmética, el teorema de Szemerédi (denominado así en referencia al matemático húngaro Endre Szemerédi) es un resultado relativo a progresiones aritméticas en subconjuntos de los números enteros. En 1936, Erdős y Turán conjeturaron[1] que cada conjunto de enteros A con densidad natural positiva contiene k términos en progresión aritmética para cada k. Endre Szemerédi demostró la conjetura en 1975.
Declaración
Se dice que un subconjunto A de números naturales tiene densidad superior positiva si
- .
El teorema de Szemerédi afirma que un subconjunto de los números naturales con densidad superior positiva contiene infinitas progresiones aritméticas de longitud k para todos los números enteros positivos k.
Una versión finita equivalente de uso frecuente del teorema establece que para cada número entero positivo k y número real , existe un número entero positivo
tal que cada subconjunto de {1, 2, ..., N} de tamaño al menos δN contiene una progresión aritmética de longitud k.
Otra formulación usa la función rk(N), el tamaño del subconjunto más grande de {1, 2, ..., N} sin una progresión aritmética de longitud k. El teorema de Szemerédi es equivalente al límite asintótico
- .
Es decir, rk(N) crece menos que linealmente con N.
Historia
El teorema de Van der Waerden, un precursor del teorema de Szemerédi, fue probado en 1927.
Los casos k = 1 y k = 2 del teorema de Szemerédi son triviales. El caso k= 3, conocido como teorema de Roth, fue establecido en 1953 por Klaus Roth[2] a través de una adaptación de método del círculo de Hardy-Littlewood. Endre Szemerédi[3] demostró el caso k= 4 mediante combinatoria. Usando un enfoque similar al que usó para el caso k= 3, Roth[4] dio una segunda prueba de este teorema en 1972.
El caso general se resolvió en 1975, también por Szemerédi,[5] quien desarrolló una extensión ingeniosa y complicada de su anterior argumento combinatorio para k= 4 (llamado "una obra maestra del razonamiento combinatorio" por Erdős[6]). Ahora se conocen varias otras demostraciones, siendo las más importantes las de Hillel Furstenberg[7][8] en 1977, usando teoría ergódica, y las de William Timothy Gowers[9] en 2001, usando tanto análisis de Fourier como combinatoria. Terence Tao ha llamado a las diversas demostraciones del teorema de Szemerédi la piedra de Rosetta necesaria para conectar campos dispares de las matemáticas.[10]
Límites cuantitativos
Es un problema abierto el determinar la tasa de crecimiento exacta de rk(N). Los límites generales más conocidos son
donde . El límite inferior se debe a que O'Bryant[11] se basó en el trabajo de Behrend,[12] Rankin,[13] y Elkin.[14][15] El límite superior se debe a Gowers.[9]
Para k pequeño, existen límites más estrechos que en el caso general. Cuando k= 3, Bourgain,[16][17] Heath-Brown,[18] Szemerédi,[19] y Sanders[20] proporcionaron límites superiores cada vez más pequeños. Los mejores límites actuales son
debido a O'Bryant[11] y Bloom[21] respectivamente.
Para k= 4, Green y Tao[22][23] demostraron que
para algún c > 0.
Extensiones y generalizaciones
Hillel Furstenberg y Yitzhak Katznelson demostraron por primera vez una generalización multidimensional del teorema de Szemerédi utilizando la teoría ergódica.[24] William Timothy Gowers,[25] Vojtěch Rödl y Jozef Skokan[26][27] con Brendan Nagle, Rödl y Mathias Schacht,[28] y Terence Tao[29] proporcionaron pruebas combinatorias.
Alexander Leibman y Vitaly Bergelson[30] generalizaron Szemerédi a progresiones polinómicas: si es un conjunto con densidad superior positiva y son polinomios de valores enteros tales que , entonces hay infinitos tales que para todos los . El resultado de Leibman y Bergelson también es válido en un entorno multidimensional.
La versión finita del teorema de Szemerédi se puede generalizar a grupos aditivos finitos que incluyen espacios vectoriales sobre cuerpos finitos.[31] El análogo de campo finito se puede usar como modelo para comprender el teorema en los números naturales.[32] El problema de obtener cotas en el caso k=3 del teorema de Szemerédi en el espacio vectorial se conoce como problema conjunto tapa.
El teorema de Green-Tao afirma que los números primos contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas. No está implícito en el teorema de Szemerédi porque los números primos tienen densidad 0 en los números naturales. Como parte de su prueba, Ben Green y Tao introdujeron un teorema de Szemerédi "relativo" que se aplica a subconjuntos de números enteros (incluso aquellos con densidad 0) que satisfacen ciertas condiciones de pseudoaleatoriedad. Desde entonces, David Conlon, Jacob Fox y Yufei Zhao han dado un teorema de Szemerédi relativo más general.[33][34]
La conjetura sobre progresiones aritméticas de Erdős implicaría tanto el teorema de Szemerédi como el teorema de Green-Tao.
Véase también
- Problemas que involucran progresiones aritméticas
- Teoría ergódica de Ramsey
- Combinatoria aritmética
- Lema de regularidad de Szemerédi
Referencias
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Bibliografía
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Enlaces externos
- PlanetMath source for initial version of this page Archivado el 16 de julio de 2012 en Wayback Machine.
- Announcement by Ben Green and Terence Tao – the preprint is available at math.NT/0404188
- Discussion of Szemerédi's theorem (part 1 of 5)
- Ben Green and Terence Tao: Szemerédi's theorem on Scholarpedia
- Weisstein, Eric W. «SzemeredisTheorem». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- Grime, James; Hodge, David (2012). «6,000,000: Endre Szemerédi wins the Abel Prize». Numberphile. Brady Haran. Archivado desde el original el 9 de enero de 2014. Consultado el 8 de octubre de 2022.
Datos: Q1046232