Tabla de series newtonianas

En matemáticas, una serie newtoniana, nombrada así en referencia a Isaac Newton, es una sucesión matemática ${\displaystyle a_{n}}$ escrita en la forma

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{s \choose n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-s)_{n}}{n!}}a_{n}}$

donde

${\displaystyle {s \choose n}}$

es el coeficiente binomial y ${\displaystyle (s)_{n}}$ es el factorial ascendente. Las series newtonianas a menudo aparecen en relaciones de la forma que se ve en el cálculo umbral.

El teorema del binomio generalizado afirma que

${\displaystyle (1+z)^{s}=\sum _{n=0}^{\infty }{s \choose n}z^{n}=1+{s \choose 1}z+{s \choose 2}z^{2}+\cdots .}$

Una prueba de esta identidad se puede obtener mostrando que satisface la ecuación diferencial

${\displaystyle (1+z){\frac {d(1+z)^{s}}{dz}}=s(1+z)^{s}.}$

La función digamma es:

${\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}{s \choose n}.}$

y los números de Stirling de segunda especie vienen dados por la suma finita

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}={\frac {1}{k!}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}j^{n}.}$

Esta fórmula es un caso especial de la k-ésima diferencia finita del monomio xⁿ evaluado en x = 0:

${\displaystyle \Delta ^{k}x^{n}=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}(x+j)^{n}.}$

Una identidad relacionada constituye la base de la integral de Nörlund–Rice:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{s-k}}={\frac {n!}{s(s-1)(s-2)\cdots (s-n)}}={\frac {\Gamma (n+1)\Gamma (s-n)}{\Gamma (s+1)}}=B(n+1,s-n)}$

donde ${\displaystyle \Gamma (x)}$ es la función gamma y ${\displaystyle B(x,y)}$ es la función beta.

Las funciones trigonométricas tienen identidades umbrales:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{s \choose 2n}=2^{s/2}\cos {\frac {\pi s}{4}}}$

y

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{s \choose 2n+1}=2^{s/2}\sin {\frac {\pi s}{4}}}$

La naturaleza umbral de estas identidades es un poco más clara al escribirlas en términos del factorial descendente ${\displaystyle (s)_{n}}$. Los primeros términos de la serie del seno son

${\displaystyle s-{\frac {(s)_{3}}{3!}}+{\frac {(s)_{5}}{5!}}-{\frac {(s)_{7}}{7!}}+\cdots }$

que se puede reconocer como similar a la serie de Taylor para la función ${\displaystyle \sin x}$, con (s) _n en lugar de xⁿ.

En teoría analítica de números es de interés la suma

${\displaystyle \!\sum _{k=0}B_{k}z^{k},}$

donde B es el número de Bernoulli. Empleando la función generadora, su suma de Borel se puede evaluar como

${\displaystyle \sum _{k=0}B_{k}z^{k}=\int _{0}^{\infty }e^{-t}{\frac {tz}{e^{tz}-1}}dt=\sum _{k=1}{\frac {z}{(kz+1)^{2}}}.}$

La relación general da la serie de Newton

${\displaystyle \sum _{k=0}{\frac {B_{k}(x)}{z^{k}}}{\frac {1-s \choose k}{s-1}}=z^{s-1}\zeta (s,x+z),}$^{[cita requerida]}

donde ${\displaystyle \zeta }$ es la función zeta de Hurwitz y ${\displaystyle B_{k}(x)}$ son polinomios de Bernoulli. La serie no converge, pero la identidad se mantiene formalmente.

Otra identidad es

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (x)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{x-a \choose k}\sum _{j=0}^{k}{\frac {(-1)^{k-j}}{\Gamma (a+j)}}{k \choose j},}$

que converge para ${\displaystyle x>a}$. Esto se deduce de la forma general de una serie de Newton para nodos equidistantes (cuando existe, es decir, es convergente)

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}{{\frac {x-a}{h}} \choose k}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}f(a+jh).}$

• Transformada binomial
• Anexo:Fórmulas factoriales y binomiales
• Integral de Nörlund–Rice
• Teorema de Carlson

• Philippe Flajolet y Robert Sedgewick, "Transformaciones de Mellin y asintóticas: diferencias finitas e integrales de Rice (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última). " Theoretical Computer Science '' 144 (1995) pp 101-124.