En matemáticas, una secuencia de vectores (xn) en un espacio de Hilbert
es una secuencia de Riesz si existen constantes
tal que
![{\displaystyle c\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)\leq \left\Vert \sum _{n}a_{n}x_{n}\right\Vert ^{2}\leq C\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b1992f45b6fece33130468c4ac4c9a5239e2e8)
para todas las secuencias de escalares (an) en el espacio ℓ2. Una secuencia de Riesz es llamada base de Riesz si
.
Teoremas
Si H es un espacio finito, entonces toda base de H es una base de Riesz.
Dado
en el espacio Lp L2(R), y sea
![{\displaystyle \varphi _{n}(x)=\varphi (x-n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86bb635ff5ff9deb71e4c9dd1613ef8352ae21f8)
y sea
la transformada de Fourier de
. Dadas las constantes c y C con
. Entonces tenemos las siguientes equivalencias:
![{\displaystyle 1.\quad \forall (a_{n})\in \ell ^{2},\ \ c\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)\leq \left\Vert \sum _{n}a_{n}\varphi _{n}\right\Vert ^{2}\leq C\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80ff0065b10d3f26adfc19f2f4cd5d86b5d0196a)
![{\displaystyle 2.\quad c\leq \sum _{n}\left|{\hat {\varphi }}(\omega +2\pi n)\right|^{2}\leq C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b412cc84e2c21df98f2c446035a92b09260ab1b)
La primera de las condiciones es la definición para que (
) forme una base de Riesz para el espacio generado por (
).
Véase también
- Base ortonormal
- Espacio de Hilbert
- Marco de un espacio vectorial
Referencias
- Christensen, Ole (2001), «Frames, Riesz bases, and Discrete Gabor/Wavelet expansions», Bulletin of the American Mathematical Society, New Series 38 (3): 273-291, doi:10.1090/S0273-0979-01-00903-X .
- Mallat, Stéphane (2008), A Wavelet Tour of Signal Processing: The Sparse Way (3ra edición), pp. 46-47, ISBN 9780123743701 .
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