Gráfico del desarrollo parcial del producto de Wallis. En matemáticas , se conoce como producto de Wallis una expresión utilizada para representar el valor de π que fue descubierta por John Wallis en 1655 y que establece que:
∏ n = 1 ∞ ( 2 n 2 n − 1 ⋅ 2 n 2 n + 1 ) = 2 1 ⋅ 2 3 ⋅ 4 3 ⋅ 4 5 ⋅ 6 5 ⋅ 6 7 ⋅ 8 7 ⋅ 8 9 ⋯ = π 2 {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}}
Demostración Antes que nada se debe considerar que las raíces de sen(x)/x son ±nπ, donde n = 1, 2, 3.... Entonces, se puede expresar el seno como un producto infinito de factores lineales de sus raíces:
sen ( x ) x = k ( 1 − x π ) ( 1 + x π ) ( 1 − x 2 π ) ( 1 + x 2 π ) ( 1 − x 3 π ) ( 1 + x 3 π ) ⋯ donde k es~una~constante {\displaystyle {\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}=k\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\cdots \qquad \ {\textrm {donde}}~k~{\textrm {es~una~constante}}}
Para encontrar la constante k, se toma el límite en ambos lados:
lim x → 0 sen ( x ) x = lim x → 0 ( k ( 1 − x π ) ( 1 + x π ) ( 1 − x 2 π ) ( 1 + x 2 π ) ( 1 − x 3 π ) ( 1 + x 3 π ) ⋯ ) = k {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}=\lim _{x\to 0}\left(k\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\cdots \right)=k}
Sabiendo que:
lim x → 0 sen ( x ) x = 1 {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}=1}
Se hace k=1. Obtenemos la fórmula de Euler-Wallis para el seno:
sen ( x ) x = ( 1 − x π ) ( 1 + x π ) ( 1 − x 2 π ) ( 1 + x 2 π ) ( 1 − x 3 π ) ( 1 + x 3 π ) ⋯ {\displaystyle {\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}=\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\cdots }
sen ( x ) x = ( 1 − x 2 π 2 ) ( 1 − x 2 4 π 2 ) ( 1 − x 2 9 π 2 ) ⋯ {\displaystyle {\frac {\operatorname {sen}(x)}{x}}=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdots }
Haciendo x=π/2, se obtiene:
1 π / 2 = ( 1 − 1 2 2 ) ( 1 − 1 4 2 ) ( 1 − 1 6 2 ) ⋯ = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − 1 4 n 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{\pi /2}}=\left(1-{\frac {1}{2^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{4^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{6^{2}}}\right)\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{4n^{2}}}\right)}
π 2 = ∏ n = 1 ∞ ( 4 n 2 4 n 2 − 1 ) {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right)}
= ∏ n = 1 ∞ ( 2 n 2 n − 1 ⋅ 2 n 2 n + 1 ) = 2 1 ⋅ 2 3 ⋅ 4 3 ⋅ 4 5 ⋅ 6 5 ⋅ 6 7 ⋯ {\displaystyle =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdots }
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