Producto de Cantor

Un producto de Cantor es una descomposición única en forma de producto infinito de números racionales, que existe para cualquier número real ${\displaystyle r>1}$, de la forma:^[1]​^[2]​

${\displaystyle r=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{q_{k}}}\right)}$

donde los números ${\displaystyle q_{k}\in \mathbb {N} }$ son números naturales positivos y donde, además, ${\displaystyle q_{k+1}\geq q_{k}^{2}}$

El teorema de Cantor sobre productos cantorianos infinitos puede resumirse de la siguiente forma:

Sea ${\displaystyle {\alpha }_{0}>1}$ un número real. Entonces se aplica lo siguiente:^[3]​^[4]​

(I) Para ${\displaystyle {\alpha }_{0}}$ una y solo una sucesión de números naturales ${\displaystyle (q_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ se puede determinar de tal manera que ${\displaystyle {\alpha }_{0}}$ es una representación del producto de la forma

${\displaystyle {\alpha }_{0}=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1+{\tfrac {1}{q_{n}}}\right)}$

donde en esta sucesión, para cada índice ${\displaystyle n}$ la desigualdad ${\displaystyle q_{n+1}\geq {q_{n}}^{2}}$ y donde sólo aparece un número finito de elementos de secuencia con ${\displaystyle q_{n}=1}$.

(II) Todo producto cantoriano, es decir, todo producto infinito de la forma descrita en (I), es convergente.

(III) ${\displaystyle {\alpha }_{0}}$ es un número racional si y solo si en la representación del producto de Cantor según (I) de un índice ${\displaystyle N}$ para todos los índices posteriores ${\displaystyle n\geq N}$ siempre la identidad ${\displaystyle q_{n+1}={q_{n}}^{2}}$.

Se cumple que para ${\displaystyle r\in (2^{k-1},2^{k}]}$ entonces ${\displaystyle q_{1}=q_{2}=\dots =q_{k}=1}$ y, obviamente el resto de componentes cumplirán que ${\displaystyle q_{k+1}<q_{k+2}<\dots }$. Nótese que a partir del primer valor para el cual ${\displaystyle q_{k+1}>1}$ el resto de enteros crecen muy rápido y por tanto la convergencia de la producto infinito se acelera.

Ejemplos

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\left(1+{\frac {1}{3}}\right)\left(1+{\frac {1}{17}}\right)\left(1+{\frac {1}{577}}\right)\left(1+{\frac {1}{665857}}\right)\dots }$

${\displaystyle {\sqrt {3}}=\left(1+{\frac {1}{2}}\right)\left(1+{\frac {1}{7}}\right)\left(1+{\frac {1}{97}}\right)\left(1+{\frac {1}{18817}}\right)\dots }$

Más en general se tiene ${\displaystyle {\sqrt {\frac {k+1}{k-1}}}=\left(1+{\frac {1}{a_{1}}}\right)\left(1+{\frac {1}{a_{2}}}\right)\left(1+{\frac {1}{a_{3}}}\right)\dots }$ con ${\displaystyle a_{1}=k}$ y ${\displaystyle a_{k+1}=2a_{k}^{2}-1}$^[5]​

La sucesión de números ${\displaystyle (q_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ puede determinarse inductivamente partiendo de ${\displaystyle {\alpha }_{0}=r>1}$ tal como sigue:

${\displaystyle q_{0}=\left\lfloor {\frac {{\alpha }_{0}}{{\alpha }_{0}-1}}\right\rfloor }$ ^[6]​ y ${\displaystyle {\alpha }_{n}={\frac {{\alpha }_{n-1}}{1+{\frac {1}{q_{n-1}}}}}\;\;\;q_{n}=\left\lfloor {\frac {{\alpha }_{n}}{{\alpha }_{n}-1}}\right\rfloor }$ para ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

La demostración se puede obtener a partir de la siguiente identidad debida a Euler:^[7]​

${\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1+x^{2^{m}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }x^{n}}$

• Halbeisen, L. J. (2012). Combinatorial set theory (Vol. 121). London: Springer.
• Lacroix, Y. (1993). "Metric properties of generalized Cantor products". Acta Arithmetica, 63(1), 61-77.
• Amrik Singh Nimbran (2016). "Mathematics behind ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ in Sulba-Sutras and Cantor Product".