En matemática combinatoria se conoce como Identidad del palo de hockey[1] o Identidad del Calcetín de Navidad[2] a la igualdad:
o a su imagen equivalente mediante la sustitución :
la cual representa la suma de o elementos, en la segunda igualdad, de una diagonal del triángulo de Pascal. El nombre de esta igualdad proviene de su representación gráfica sobre dicho triángulo, ya que cuando se resaltan los sumandos y el total, la forma revelada recuerda vagamente a esos objetos.
Demostraciones
Como paso previo a las demostraciones, hay que recordar la llamada Regla de Pascal que relaciona los elementos de una fila del triángulo de Pascal con los de la fila siguiente:
Ya que la razón de esta serie es , la igualdad anterior se transforma en:
Desarrollemos los diferentes binomios a partir de :
Al sumar todos los coeficientes binomiales del término y sustituir después obtenemos:
con lo que queda demostrada la identidad.
Prueba combinatoria (I)
Imagine que estamos distribuyendo caramelos indistinguibles a niños distinguibles. Mediante una aplicación directa del método de estrellas y barras, existen
formas de distribuirlos. De manera alterna, primero podemos darle caramelos al mayor de los niños, de modo que en esencia, damos caramelos a los niños restantes.y, nuevamente, mediante doble conteo y el método de las estrellas y barras, nosotros tenemos:
lo cual se simplifica al resultado deseado, haciendo un cambio de variable, al tomar y y observando que :
Prueba combinatoria (II)
Podemos formar un comité de un tamaño de personas a partir de un grupo de personas en
maneras. Ahora entregamos números como a de las personas. Podemos dividir esto en casos inconexos. En general, en el caso de un número , tal que , la persona con el número está en el comité y las personas no están en dicho comité. Esto se puede hacer de
maneras. Ahora, podemos sumar los valores de estos casos diferentes, obteniendo:
↑Jones, Charles H. (Junio-Julio de 1996). «Generalized Hockey Stick Identities and N-Dimensional Blockwalking». The Fibonacci Quarterly(en inglés)34 (3): 280-288. Consultado el 15 de marzo de 2021.
↑Weisstein, Eric W. «Christmas Stocking Theorem». MathWorld-A Wolfram Web Resource.(en inglés). Consultado el 15 de marzo de 2021.