Estrofoide

En matemáticas, y más precisamente en geometría, una curva estrofoide, o simplemente una estrofoide, es una curva engendrada a partir de una curva dada ${\displaystyle C}$ y de dos puntos ${\displaystyle A}$ (el punto fijo) y ${\displaystyle O}$ (el polo).^[1]​

En el caso particular en el que ${\displaystyle C}$ es una recta, ${\displaystyle A}$ pertenece a ${\displaystyle C}$, y ${\displaystyle O}$ no pertenece a ${\displaystyle C}$, la curva se denomina una estrofoide oblicua. Si, además, ${\displaystyle OA}$ es perpendicular a ${\displaystyle C}$, la curva es denominada una estrofoide recta, o simplemente una estrofoide por ciertos autores. La estrofoide recta a veces también se denomina curva logocíclica.

La curva estrofoidal que corresponde a la curva C, con el punto fijo A y el polo O se construye de la manera siguiente: sea L una recta móvil que pasa por O y que corta C en K. Sean entonces P₁ y P₂ los dos puntos de L tales que P₁K = P₂K = AK. El lugar geométrico de los puntos P₁ y P₂ se denomina la estrofoide de C relativa al polo O y con el punto fijo A. Se observa que AP₁ y AP₂ son ortogonales.

Sea la curva ${\displaystyle C}$ dada por ${\displaystyle r=f(\theta ),}$, donde el origen se toma en ${\displaystyle O}$; y sea ${\displaystyle A}$ el punto de coordenadas cartesianas ${\displaystyle (a,b)}$. Si ${\displaystyle K=(r\cos \theta ,\ r\operatorname {sen} \theta )}$ es un punto de la curva, la distancia de ${\displaystyle K}$ a ${\displaystyle A}$ es

${\displaystyle d={\sqrt {(r\cos \theta -a)^{2}+(r\operatorname {sen} \theta -b)^{2}}}={\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\operatorname {sen} \theta -b)^{2}}}}$

Los puntos de la recta ${\displaystyle OK}$ tienen por ángulo polar ${\displaystyle \theta }$, y los puntos a distancia ${\displaystyle d}$ de ${\displaystyle K}$ sobre esta recta están a una distancia ${\displaystyle f(\theta )\pm d}$ del origen. Por lo tanto, la ecuación de la estrofoide viene dada por

${\displaystyle r=f(\theta )\pm {\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\operatorname {sen} \theta -b)^{2}}}}$

Sea ${\displaystyle C}$ de ecuaciones paramétricas ${\displaystyle (x=x(t),y=y(t))}$. Sea ${\displaystyle A}$ el punto ${\displaystyle (a,b)}$ y ${\displaystyle O}$ el punto ${\displaystyle (p,q)}$. Entonces, las fórmulas polares precedentes muestran que la representación paramétrica de la estrofoide es:

${\displaystyle x=u(t)=p+(x(t)-p)(1\pm n(t)),\ y=v(t)=q+(y(t)-q)(1\pm n(t))}$

donde

${\displaystyle n(t)={\sqrt {\frac {(x(t)-a)^{2}+(y(t)-b)^{2}}{(x(t)-p)^{2}+(y(t)-q)^{2}}}}}$

La complejidad de las fórmulas precedentes limita su utilidad a la práctica. Existe por eso una forma alternativa a veces más sencilla, que es particularmente útil cuando ${\displaystyle C}$ es una sectriz de Maclaurin con polos ${\displaystyle O}$ y ${\displaystyle A}$.

Sea ${\displaystyle O}$ el origen y ${\displaystyle A}$ el punto ${\displaystyle (a,0)}$. Sea ${\displaystyle K}$ un punto de la curva, ${\displaystyle \theta }$ el ángulo entre ${\displaystyle OK}$ y el eje ${\displaystyle OX}$, y ${\displaystyle \vartheta }$ el ángulo entre ${\displaystyle AK}$ y el eje ${\displaystyle OX}$. Se supone que ${\displaystyle \vartheta }$ se da en función de ${\displaystyle \theta }$, bajo la forma ${\displaystyle \vartheta =l(\theta )}$. Sea el ángulo ${\displaystyle \psi }$ en ${\displaystyle K}$ tal que ${\displaystyle \psi =\vartheta -\theta }$. Entonces, se puede determinar ${\displaystyle r}$ en función de ${\displaystyle l}$ usando el teorema de los senos:

${\displaystyle {r \over \operatorname {sen} \vartheta }={a \over \operatorname {sen} \psi },\ r=a{\frac {\operatorname {sen} \vartheta }{\operatorname {sen} \psi }}=a{\frac {\operatorname {sen} l(\theta )}{\operatorname {sen}(l(\theta )-\theta )}}}$

Sean ${\displaystyle P_{1}}$ y ${\displaystyle P_{2}}$ los puntos de la recta ${\displaystyle OK}$ a la distancia ${\displaystyle AK}$ de ${\displaystyle K}$, numerados de forma que ${\displaystyle \psi ={\widehat {P_{1}Ka}}}$ y ${\displaystyle \pi -\psi ={\widehat {Akp_{2}}}}$. El triángulo ${\displaystyle P_{1}KA}$ es isósceles de ángulo ${\displaystyle \psi }$ en el vértice, y por lo tanto los ángulos de la base ${\displaystyle {\widehat {AP_{1}K}}}$, y ${\displaystyle {\widehat {KAP_{1}}}}$ valen ${\displaystyle (\pi -\psi )/2}$. El ángulo entre ${\displaystyle AP_{1}}$ y el eje ${\displaystyle OX}$ es entonces

${\displaystyle l_{1}(\theta )=\vartheta +\angle KAP_{1}=\vartheta +(\pi -\psi )/2=\vartheta +(\pi -\vartheta +\theta )/2=(\vartheta +\theta +\pi )/2}$

Empleando el hecho de que ${\displaystyle AP_{1}}$ y ${\displaystyle AP_{2}}$ son perpendiculares (puesto que el triángulo ${\displaystyle AP_{1}P_{2}}$ está inscrito en una semicircunferencia), el ángulo entre ${\displaystyle AP_{2}}$ y el eje ${\displaystyle OX}$ vale

${\displaystyle l_{2}(\theta )=(\vartheta +\theta )/2}$

La ecuación polar de la estrofoide se deduce entonces de ${\displaystyle l_{1}}$ y ${\displaystyle l_{2}}$ según las fórmulas precedentes:

${\displaystyle r_{1}=a{\frac {\operatorname {sen} l_{1}(\theta )}{\operatorname {sen}(l_{1}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\operatorname {sen}((l(\theta )+\theta +\pi )/2)}{\operatorname {sen}((l(\theta )+\theta +\pi )/2-\theta )}}=a{\frac {\cos((l(\theta )+\theta )/2)}{\cos((l(\theta )-\theta )/2)}}}$

${\displaystyle r_{2}=a{\frac {\operatorname {sen} l_{2}(\theta )}{\operatorname {sen}(l_{2}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\operatorname {sen}((l(\theta )+\theta )/2)}{\operatorname {sen}((l(\theta )+\theta )/2-\theta )}}=a{\frac {\operatorname {sen}((l(\theta )+\theta )/2)}{\operatorname {sen}((l(\theta )-\theta )/2)}}}$

${\displaystyle C}$ es una sectriz de Maclaurin de polos ${\displaystyle O}$ y ${\displaystyle A}$ cuando ${\displaystyle l}$ es de la forma ${\displaystyle q\theta +\theta _{0}}$. En este caso, ${\displaystyle l_{1}}$ y ${\displaystyle l_{2}}$ tienen la misma forma, y la estrofoide es o bien otra sectriz de Maclaurin, o bien una pareja de sectrices. Se puede encontrar una ecuación polar sencilla si se toma el origen en el punto simétrico de ${\displaystyle A}$ respecto de ${\displaystyle O}$.

Sea ${\displaystyle C}$ una recta que pasa por ${\displaystyle A}$. Entonces, en las notaciones precedentes, ${\displaystyle l(\theta )=\alpha }$ (donde ${\displaystyle \alpha }$ es una constante); y ${\displaystyle l_{1}(\theta )=(\theta +\alpha +\pi )/2}$ y ${\displaystyle l_{2}(\theta )=(\theta +\alpha )/2}$. Las ecuaciones polares de la estrofoide correspondiente con el origen en ${\displaystyle O}$, denominada estrofoide oblicua, toman la forma

${\displaystyle r=a{\frac {\cos((\alpha +\theta )/2)}{\cos((\alpha -\theta )/2)}}}$

y

${\displaystyle r=a{\frac {\operatorname {sen}((\alpha +\theta )/2)}{\operatorname {sen}((\alpha -\theta )/2)}}}$

Se verifica fácilmente que estas dos ecuaciones describen de hecho la misma curva.

Tomando el origen en ${\displaystyle A}$ (véase el artículo sobre la sectriz de Maclaurin) y reemplazando ${\displaystyle -a}$ por ${\displaystyle a}$, se obtiene

${\displaystyle r=a{\frac {\operatorname {sen}(2\theta -\alpha )}{\operatorname {sen}(\theta -\alpha )}}}$

Una rotación de valor ${\displaystyle \alpha }$ transforma esta ecuación en

${\displaystyle r=a{\frac {\operatorname {sen}(2\theta +\alpha )}{\operatorname {sen}(\theta )}}}$

En coordenadas cartesianas (y cambiando las constantes), se obtiene

${\displaystyle y(x^{2}+y^{2})=b(x^{2}-y^{2})+2cxy}$

El resultado es una cúbica unicursal según su ecuación polar. Posee una singularidad en ${\displaystyle (0,0)}$, y la recta ${\displaystyle y=b}$ es una asíntota.

Poniendo ${\displaystyle \alpha =\pi /2}$ en

${\displaystyle r=a{\frac {\operatorname {sen}(2\theta -\alpha )}{\operatorname {sen}(\theta -\alpha )}}}$

se obtiene

${\displaystyle r=a{\frac {\cos 2\theta }{\cos \theta }}=a(2\cos \theta -\sec \theta )}$

Esta curva se denomina estrofoide recta, y corresponde al caso donde ${\displaystyle C}$ es el eje ${\displaystyle OY}$, ${\displaystyle O}$ es el origen, y ${\displaystyle A}$ es el punto ${\displaystyle (a,0)}$.

Su ecuación cartesiana es

${\displaystyle y^{2}=x^{2}(a-x)/(a+x)}$

y su representación paramétrica unicursal es:

${\displaystyle x=-a{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}$

${\displaystyle y=-at{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}$

La curva se asemeja al folium de Descartes, y la recta ${\displaystyle x=-a}$ es asíntota de las dos ramas infinitas. La curva posee dos asíntotasimaginarías más en el plano complejo, dadas por

${\displaystyle x\pm iy=-a}$

Sea ${\displaystyle C}$ una circunferencia que pasa por ${\displaystyle O}$ y por ${\displaystyle A}$. Tomando ${\displaystyle O}$ por origen y ${\displaystyle A}$ en ${\displaystyle (a,0)}$, con las notaciones precedentes ${\displaystyle l(\theta )=\alpha +\theta }$ (donde ${\displaystyle \alpha }$ es una constante), se tiene que ${\displaystyle l_{1}(\theta )=\theta +(\alpha +\pi )/2}$ y que ${\displaystyle l_{2}(\theta )=\theta +\alpha /2}$. Entonces, las ecuaciones polares de las estrofoides correspondientes son

${\displaystyle r=a{\frac {\cos(\theta +\alpha /2)}{\cos(\alpha /2)}}}$

y

${\displaystyle r=a{\frac {\operatorname {sen}(\theta +\alpha /2)}{\operatorname {sen}(\alpha /2)}}}$

Son las ecuaciones de dos circunferencias que pasan también por ${\displaystyle O}$ y ${\displaystyle A}$, y forman ángulos de ${\displaystyle \pi /4}$ con ${\displaystyle C}$ en estos puntos.

• Cisoide de Diocles
• Concoide de Durero
• Curvas
• Trisectriz de Maclaurin

• Al sitio web de Robert Ferreol, a su enciclopedia de las formas matemáticas destacables:
  • "Courbe Strophoïdale"
  • "estrofoide"
  • "estrofoide Droite", donde también se encuentran muchas propiedades geométricas de esta curva.

• Al sitio web de Mathworld
  • Weisstein, Eric W. «Estrofoide». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. , Eric W., Weisstein, Eric W. «Estrofoide». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.  Weisstein, Eric W. «Estrofoide». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.  Weisstein, Eric W. «Estrofoide». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.  (Weisstein, Eric W. «Estrofoide». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. ).
  • Weisstein, Eric W. «Estrofoide». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. , Eric W., Weisstein, Eric W. «Estrofoide». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.  Weisstein, Eric W. «Estrofoide». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.  Weisstein, Eric W. «Estrofoide». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.  (Weisstein, Eric W. «Estrofoide». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. ).