Espacio tensorial

Sea E un módulo sobre un anillo conmutativo A unitario. Se denomina tensor p veces contravariante y q veces covariante en E a cualquier elemento del producto tensorial ${\displaystyle \bigotimes _{i=1}^{p}E\otimes \bigotimes _{j=1}^{q}E^{*}}$, donde ${\displaystyle E^{*}}$ es el módulo dual de E.

Sea u un automorfismo de A-módulo E, ${\displaystyle {}^{t}u}$ es el morfismo contragrediente de ${\displaystyle E^{*}}$, es decir el automorfismo definido por ${\displaystyle {}^{t}u(\varphi )=\varphi \circ u}$. Se puede definir una acción del grupo lineal GL(E) sobre ${\displaystyle \bigotimes _{i=1}^{p}E\otimes \bigotimes _{j=1}^{q}E^{*}}$ mediante:

${\displaystyle {\begin{matrix}u\cdot x=&\underbrace {(u\otimes \cdots \otimes u} &\otimes &\underbrace {{}^{t}u\otimes \cdots \otimes {}^{t}u)} (x)\\&p&&q\end{matrix}}}$

Se denomina espacio tensorial^[1]​ en E a cualquier submódulo H de ${\displaystyle \bigotimes _{i=1}^{p}E\otimes \bigotimes _{j=1}^{q}E^{*}}$ estable para la ley externa ${\displaystyle (u,x)\mapsto u\cdot x}$.