![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1f/Commons-emblem-question_book_orange.svg/40px-Commons-emblem-question_book_orange.svg.png) | Este artículo o sección necesita referencias que aparezcan en una publicación acreditada. Busca fuentes: «Diagonalización» – noticias · libros · académico · imágenes Este aviso fue puesto el 16 de junio de 2023. |
En matemáticas y, en particular, en álgebra lineal, la diagonalización es un proceso que permite simplificar la descripción de ciertos endomorfismos de un espacio vectorial. En particular, identificando el endomorfismo con su matriz asociada en cierta base, se puede hablar de diagonalización de matrices. Consiste en encontrar una base del espacio vectorial formada por vectores propios, si existe alguna. Esto se refleja en obtener una base tal que la matriz asociada al endomorfismo en la misma es una matriz diagonal.
El proceso se reduce, pues, a una reducción máxima del endomorfismo, es decir, a una descomposición del espacio vectorial en suma directa de subespacios vectoriales invariantes por el endomorfismo. Ristringido sobre cada uno de ellos, el endomorfismo se reduce a una homotecia. Por tanto, la diagonalización permite una mejor visualización geométrico de la actuación del endomorfismo sobre el espacio vectorial. Además, la diagonalización permite un cálculo rápido y simple de potencias y exponenciales de matrices (entendidas como matrices de un endomorfismo), lo que permite expresar numéricamente ciertos sistemas dinámicos lineales, obtenidos por iteración o por ecuaciones diferenciales.
Introducción y deducción del método
Supongamos que tenemos un endomorfismo
del espacio vectorial
que en base canónica tiene por matriz asociada la matriz
.
Supongamos que queremos estudiar, por ejemplo, el endomorfismo
, que tiene por matriz asociada
. Esta matriz es difícil de calcular. Sin embargo, si encontráramos otra base
tal que la matriz de
en esa base fuera una matriz diagonal
, con
la matriz de cambio de base de
a la base canónica, es decir,
, tendríamos que
.
Así, el problema se vería reducido a calcular potencias de números reales, algo mucho más sencillo.
Veamos ahora cómo podemos construir la base
para que la matriz de
en esa base sea diagonal. Por construcción de la matriz de una aplicación lineal en una cierta base, que la matriz de
en base
sea
significa que
. Tomemos por ejemplo la primera condición y denotemos
la base canónica:
. Como
forma parte de una base, no puede ser nulo, de forma que esto quiere decir que el sistema homogéneo
tiene soluciones no triviales (distintas de 0). Por el teorema de Rouché–Frobenius, esto quiere decir que
. Si consideramos el polinomio
esto quiere decir que
tiene que ser raíz de
. Simétricamente para
y
, obtenemos que
también son raíces de
. Es decir,
es el conjunto de raíces del polinomio
, al que llamaremos polinomio característico de
. Por tanto, si no hay ninguna raíz en el cuerpo donde estamos trabajando, podemos afirmar que el endomorfismo no diagonaliza.
Por tanto, el primer paso es encontrar las raíces de
a las que llamaremos valores propios (o VAPS) de
. Una vez encontradas, encontramos los vectores
como soluciones no triviales de los sistemas
que sabemos que existen porque hemos impuesto que el rango de la matriz
baje para los
encontrados. A los vectores
los llamaremos vectores propios (o VEPS) de
. Una vez encontrados, hay que comprobar que formen entre ellos una base. Si la forman, ya tenemos la base
que buscábamos. Si no, diremos que
era un endomorfismo no diagonalizable. Este método es válido en general para cualquier dimensión. Es decir, para diagonalizar una matriz los pasos a seguir son:
(1) Encontrar los valores propios: las raíces de
. Si no tiene,
no diagonaliza.
(2) Encontrar los vectores propios: para cada valor propio
, las soluciones de
. Tomar, de entre los vectores propios de cada valor propio, tantos linealmente independientes como sea posible.
(3) Comprobar que el conjunto de vectores obtenidos es, efectivamente una base. Si lo es, ya estamos. Si no,
no es diagonalizable.
En el ejemplo anterior haríamos lo siguiente:
. Por lo que los valores propios son
y
.
Encontramos los vectores propios:
:
:
:
Nuestro candidato a base es
, que efectivamente, es una base. Por tanto,
, y podemos calcular
.
Sin embargo, no todos los endomorfismos son diagonalizables, pero podemos caracterizar aquellos que sí que lo son.
Caracterización de endomorfismos diagonalizables
Definimos la multiplicidad algebraica y geométrica de un valor propio
. La multiplicidad algebraica
es su multiplicidad como raíz del polinomio característico. La multiplicidad geométrica
de
es la dimensión del espacio de vectores propios de valor propio
(que denotaremos
). Así,
.
Antes de la caracterización, hace falta demostrar dos lemas:
Sean VAPS de diferentes dos a dos. Entonces, ,
donde significa suma directa. |
Lo vemos por inducción sobre : : - Tenemos
. Queremos ver que , o, equivalentemente, . - Sea
arbitrario. Tenemos que ![{\displaystyle \Rightarrow 0=(\lambda _{1}-\lambda _{2})u{\overset {\lambda _{1}\neq \lambda _{2}}{\Rightarrow }}u=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d88add7f2a25e95a4fb22c1e907bb84a1d2491d7) - Como
era arbitrario, tenemos lo que queríamos. Inducción: - Sean
con . Supongamos que . Para ver que están en suma directa, es suficiente ver que . ![{\displaystyle u_{1}+\dots +u_{r}=0\Rightarrow f(u_{1}+\dots +u_{r})=f(0)\Rightarrow f(u_{1})+\dots f(u_{r})=0\Rightarrow \lambda _{1}u_{1}+\dots +\lambda _{r}u_{r}=0\quad (*)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2899db37d889fd12e3c6d20db8525656162787d) - Por otro lado,
![{\displaystyle u_{1}+\dots +u_{r}=0\Rightarrow \lambda _{r}u_{1}+\dots +\lambda _{r}u_{r}=0\quad (**)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04226bca7476db8a4210d0ca788a977d216e9fe8) - Restamos
: ![{\displaystyle (\lambda _{1}-\lambda _{r})u_{1}+\dots +(\lambda _{r}-\lambda _{r})u_{r}=0\Rightarrow (\lambda _{1}-\lambda _{r})u_{1}+\dots +(\lambda _{r-1}-\lambda _{r})u_{r-1}=0{\overset {\text{Hip. inducción}}{\Rightarrow }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34c839942c3ab6921c59bed0a8dec990c27c0b9f) . - Por tanto, como
. ![{\displaystyle \quad \square }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c92a6f8dcc619a246cfa406f34c82de4bedff6fa) |
Si es VAP de , |
Que es obvio, pues es VAP y, por definición, existen VEPs de VAP . Como los VEPs son distintos de 0, trivialmente, la dimensión del espacio que generan es no nula. Veamos que . Sea una base de : . Por el teorema de intercambio de Steinitz, podemos completar esta base a una base del espacio: . Consideremos la matriz de en base : ,
Con polinomio que podría, o no, tener a como raíz. En cualquier caso, |
Veamos ahora el teorema que caracteriza a los endomorfismos diagonalizables y nos permitirá asegurar que no podemos diagonalizar
antes de acabar el algoritmo presentado en el primer apartado del artículo.
diagonaliza |
Observamos que descompone completamente con . Además, es diagonalizable, por definición, si podemos generar el espacio sólo con VEPs, es decir, si . Por tanto,
las dos desigualdades son igualdades.
La primera, por , es equivalente a pedir que VAP . La segunda, por , es equivalente a pedir que descomponga completamente. |
Por tanto, en el algoritmo anterior podemos afirmar que
no es diagonalizable sin acabar en dos casos: si el polinomio característico no descompone o si al calcular los subespacios de vectores propios, encontramos alguno cuya dimensión no coincida con la multiplicidad algebraica del VAP correspondiente.
Además, si no hemos parado en ninguno de los dos casos anteriores, el teorema afirma que
es diagonalizable directamente, es decir, no hace falta el tercer paso, donde comprobábamos que el conjunto de VEPs obtenidos eran efectivamente una base. Así, podríamos actualizar el algoritmo como sigue:
(1) Encontrar los valores propios: las raíces de
. Si no descompone completamente,
no diagonaliza. Fin.
(2) Encontrar los vectores propios: para cada valor propio
,
. Si la dimensión de este núcleo no es igual a la multiplidad del VAP correspondiente como raíz del polinomio característico,
no diagonaliza. Fin.
(3) Llegado a este punto,
diagonaliza, y la unión de las bases de los espacios de VEPs es la base que buscamos para diagonalizar
.
Referencias
- Castellet, Manuel; Llerena, Irene (2005). Universidad Autónoma de Barcelona, ed. Álgebra lineal y geometría. ISBN 84-7488-943-X.
Bibliografía
(en inglés) Richard S. Varga, Matrix Iterative Analysis, Springer, 2010
Datos: Q11917068