Combinación afín

${\displaystyle {\bar {p}}+\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}{\overrightarrow {({\bar {p}}p_{i})}}}=p'+\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}{\overrightarrow {(p'p_{i}}}})\Leftrightarrow {\overrightarrow {{\bar {p}}p'}}=\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}({\overrightarrow {{\bar {p}}p_{i}}}-{\overrightarrow {p'p_{i}}})}.\,}$

Veamos que es cierto:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}({\overrightarrow {{\bar {p}}p_{i}}}-{\overrightarrow {p'p_{i}}})}=\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}({\overrightarrow {{\bar {p}}p_{i}}}+{\overrightarrow {p_{i}p'}})}=\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}({\overrightarrow {{\bar {p}}p'}})}={\overrightarrow {({\bar {p}}p')}}\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}}={\overrightarrow {{\bar {p}}p'}}\cdot 1={\overrightarrow {{\bar {p}}p'}}.\,}$

Por tanto, la definición de combinación afín de puntos no depende del punto auxiliar elegido para calcularla. ${\displaystyle \square }$

${\displaystyle S\subseteq \left\langle S\right\rangle }$

${\displaystyle p_{j}=p_{j}+\sum _{i=1,i\neq j}^{m}{0\cdot {\overrightarrow {p_{j}p_{i}}}}+1\cdot {\overrightarrow {p_{j}p_{j}}}=0\cdot p_{1}+...+1\cdot p_{j}+...+0\cdot p_{m}\in \left\langle S\right\rangle \quad \forall j=1,...,m}$

Por tanto, solo queda ver que ${\displaystyle \left\langle S\right\rangle }$ es una variedad lineal y que no solo contiene a ${\displaystyle S}$, sino que es la más pequeña con esta característica.

En primer lugar, veremos que si consideramos una variedad lineal ${\displaystyle U}$ tal que ${\displaystyle S\subseteq U}$, necesariamente ${\displaystyle \left\langle S\right\rangle \subseteq U}$.

De esto obtenemos que cualquier variedad lineal que contenga a ${\displaystyle S}$ es más grande o igual que ${\displaystyle \left\langle S\right\rangle }$, y solo quedará comprobar que ${\displaystyle \left\langle S\right\rangle }$ es efectivamente una variedad lineal para poder afirmar el enunciado.

Sea, pues, ${\displaystyle U}$ una variedad lineal tal que ${\displaystyle S\subseteq U}$. En particular, ${\displaystyle p_{1}\in U\Rightarrow U=p_{1}+F}$, con ${\displaystyle F\subseteq V}$ cierto subespacio vectorial.

Tomamos ${\displaystyle q\in \left\langle S\right\rangle }$ arbitrario. Si vemos que necesariamente ${\displaystyle q\in U}$ tendremos la inclusión que buscamos.

Por tanto, utilizando la definición anterior y tomando ${\displaystyle p_{1}}$ como punto auxiliar, ${\displaystyle q=\sum _{i=1}^{m}a_{i}p_{i}=p_{1}+\sum _{i=1}^{m}a_{i}{\overrightarrow {p_{1}p_{i}}}.}$

Por otro lado, como ${\displaystyle S\subseteq U=p_{1}+F,\quad p_{i}=p_{1}+u_{i}}$, con ${\displaystyle u_{i}\in F\quad \forall i=1,...,m\Rightarrow {\overrightarrow {p_{1}p_{i}}}=u_{i}\in F}$.

Como ${\displaystyle F}$ es un subespacio vectorial, entonces ${\displaystyle v:=\sum _{i=1}^{m}a_{i}{\overrightarrow {p_{1}p_{i}}}\in F\Rightarrow q=p_{1}+v,}$ con ${\displaystyle v\in F\Rightarrow q\in p_{1}+F=U.}$

Como esto es cierto para un ${\displaystyle q\in \left\langle S\right\rangle }$ arbitrario, entonces es cierto para todo ${\displaystyle q}$ y tenemos ${\displaystyle \left\langle S\right\rangle \subseteq U}$, como queríamos ver.

Solo queda ver, pues, que ${\displaystyle \left\langle S\right\rangle }$ es, en efecto, una variedad lineal.

Lo vemos probando que ${\displaystyle \left\langle S\right\rangle =p_{1}+[{\overrightarrow {p_{1}p_{2}}},{\overrightarrow {p_{1}p_{3}}},...,{\overrightarrow {p_{1}p_{m}}}]=:W}$, donde ${\displaystyle [A]}$ denota el subespacio generado por el conjunto de vectores ${\displaystyle A.}$

${\displaystyle W}$ es claramente una variedad lineal porque está construida como un punto más un espacio vectorial.

${\displaystyle (\subseteq )}$ Observamos que ${\displaystyle p_{1}\in W}$, y, si ${\displaystyle i=2,...,m,}$ entonces ${\displaystyle p_{i}=p_{1}+{\overrightarrow {p_{1}p_{i}}}\in W}$, porque ${\displaystyle {\overrightarrow {p_{1}p_{i}}}\in [{\overrightarrow {p_{1}p_{2}}},...,{\overrightarrow {p_{1}p_{m}}}]}$.

Así, ${\displaystyle S\subseteq W}$ y, por lo que hemos visto antes, ${\displaystyle \left\langle S\right\rangle \subseteq W.}$

${\displaystyle (\supseteq )}$ Sea ${\displaystyle q\in W}$ arbitrario. Tenemos que ver que ${\displaystyle q\in \left\langle S\right\rangle }$. Por definición de ${\displaystyle W}$ y de combinación afín,

${\displaystyle q\in W\Rightarrow q=p_{1}+\sum _{i=2}^{m}{c_{i}{\overrightarrow {p_{1}p_{i}}}}=p_{1}+\left(1-\sum _{i=2}^{m}{c_{i}}\right)\cdot {\overrightarrow {p_{1}p_{1}}}+\sum _{i=2}^{m}{c_{i}{\overrightarrow {p_{1}p_{i}}}}=\left(1-\sum _{i=2}^{m}{c_{i}}\right)\cdot p_{1}+\sum _{i=2}^{m}{c_{i}p_{i}}\in \left\langle S\right\rangle .}$

La segunda igualdad porque ${\displaystyle {\overrightarrow {p_{1}p_{1}}}=0}$ y la última pertenencia por ser una combinación afín de ${\displaystyle \left\{p_{1},...,p_{m}\right\}=S.}$

Por tanto, hemos demostrado que ${\displaystyle \left\langle S\right\rangle }$ es una variedad lineal y que, además, es la más pequeña que contiene a ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \square }$