Combinación afín
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4e/Combinaci%C3%B3n_af%C3%ADn_de_dos_puntos.gif)
En matemáticas, dado un espacio afín sobre un cuerpo , y un número finito de puntos , una combinación afín de es un punto expresado con una combinación lineal
con tales que
En general, las operaciones producto por escalar y suma no están definidas en el conjunto , de forma que, fijado un punto auxiliar la expresión anterior se define como
.
En esta expresión, las operaciones suma y producto por escalar sí que están definidas, pues se aplican a , elementos de un espacio vectorial .
La expresión anterior está bien definida porque es independiente del punto auxiliar escogido. Es decir, fijado otro punto auxiliar arbitrario, la combinación afín obtenida por la anterior definición es la misma:
Queremos ver que
Veamos que es cierto:
Por tanto, la definición de combinación afín de puntos no depende del punto auxiliar elegido para calcularla. |
El concepto de combinación afín es fundamental en geometría euclidiana y geometría afín, porque el conjunto de todas las combinaciones afines de un conjunto de puntos forman la variedad lineal más pequeña que los contiene. Es decir, si consideramos el conjunto de puntos y denotamos como al conjunto de combinaciones afines de , entonces
es la variedad lineal más pequeña que contiene a |
Vemos que, claramente, , ya que . Por tanto, solo queda ver que es una variedad lineal y que no solo contiene a , sino que es la más pequeña con esta característica. En primer lugar, veremos que si consideramos una variedad lineal tal que , necesariamente . De esto obtenemos que cualquier variedad lineal que contenga a es más grande o igual que , y solo quedará comprobar que es efectivamente una variedad lineal para poder afirmar el enunciado. Sea, pues, una variedad lineal tal que . En particular, , con cierto subespacio vectorial. Tomamos arbitrario. Si vemos que necesariamente tendremos la inclusión que buscamos. Por tanto, utilizando la definición anterior y tomando como punto auxiliar, Por otro lado, como , con . Como es un subespacio vectorial, entonces con Como esto es cierto para un arbitrario, entonces es cierto para todo y tenemos , como queríamos ver. Solo queda ver, pues, que es, en efecto, una variedad lineal. Lo vemos probando que , donde denota el subespacio generado por el conjunto de vectores es claramente una variedad lineal porque está construida como un punto más un espacio vectorial. Observamos que , y, si entonces , porque .
Por tanto, hemos demostrado que es una variedad lineal y que, además, es la más pequeña que contiene a |
Referencias
- Gallier, Jean (2001), Geometric Methods and Applications, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95044-0, (requiere registro) . Ver capítulo 2.
Datos: Q938614