Semiprimideal

Ein Semiprimideal ist ein Begriff aus der abstrakten Algebra. Er stellt eine Erweiterung des Begriffs des Primideals dar.

Im Folgenden sei R ein Ring mit Eins. Dann ist ein Ideal Q von R ein Semiprimideal, wenn es eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:^[1]

• Ist ${\displaystyle I\triangleleft R}$ ein Ideal von R mit ${\displaystyle I^{2}\subseteq Q}$, dann ist ${\displaystyle I\subseteq Q}$.
• Q ist ein Durchschnitt von Primidealen.

• Ein Ring R heißt semiprim, wenn ${\displaystyle \{0\}}$ ein Semiprimideal ist. Dann ist die Abbildung ${\displaystyle R\rightarrow \prod _{P}R/P,\,x\mapsto (x+P)_{P}}$, wobei das Produkt über alle Primideale gebildet wird, injektiv. Daher ist ein semiprimer Ring subdirektes Produkt primer Ringe, das heißt solcher, in denen das Nullideal prim ist.^[2]
• Ein Durchschnitt von Semiprimidealen ist wieder ein Semiprimideal.
• Das Primradikal ist das kleinste Semiprimideal.

1. ↑ Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Theorem 2.6.17 angewandt auf R/Q.
2. ↑ Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), § 2.2.