Satz von Schur-Horn

In der Mathematik charakterisiert der Satz von Schur-Horn die möglichen Eigenwerte einer hermiteschen Matrix mit gegebener Hauptdiagonale.

Eine hermitesche Matrix mit Diagonaleinträgen ${\displaystyle d_{1}\geq d_{2}\geq \ldots \geq d_{n}}$ und Eigenwerten ${\displaystyle \lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \ldots \geq \lambda _{n}}$ existiert genau dann, wenn die Schur-Horn-Ungleichungen

${\displaystyle d_{1}\leq \lambda _{1}}$

${\displaystyle d_{1}+d_{2}\leq \lambda _{1}+\lambda _{2}}$

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle d_{1}+\ldots +d_{n-1}\leq \lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n-1}}$

und die Gleichung

${\displaystyle d_{1}+\ldots +d_{n}=\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}}$

erfüllt sind.

Die Notwendigkeit der Bedingung wurde von Issai Schur bewiesen, die umgekehrte Richtung von Alfred Horn.

• I. Schur: Über eine Klasse von Mittelbildungen mit Anwendungen auf die Determinantentheorie, Sitzungsber. Berl. Math. Ges. 22 (1923), 9–20.
• A. Horn: Doubly stochastic matrices and the diagonal of a rotation matrix, American Journal of Mathematics 76 (1954), 620–630.
• Andreas Knauf: Mathematische Physik: Klassische Mechanik. Springer, 2017, ISBN 9783662557761, S. 349 ff.

• Eric W. Weisstein: Horn's Theorem. In: MathWorld (englisch).
• Terry Tao: 254A, Notes 3a: Eigenvalues and sums of Hermitian matrices
• Sheela Devadas, Peter J. Haine, Keaton Stubis: The Schur-Horn Theorem