Als Ramanujansumme wird in der Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine bestimmte endliche Summe
, deren Wert von der natürlichen Zahl
und der ganzen Zahl
abhängt, bezeichnet. Sie wird durch
![{\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{a=1 \atop (a,q)=1}^{q}e^{2\pi i{\frac {a}{q}}n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d51b734a0c488ff21d229d583e3370ead34a3cb2)
definiert. Die Schreibweise
steht für den größten gemeinsamen Teiler von
und
, die Summation erstreckt sich also über die Zahlen
mit
, die zu
teilerfremd sind. Die einzelnen Summanden sind Potenzen einer festen komplexen Einheitswurzel.
S. Ramanujan führte diese Summen 1916 ein.[1] Sie spielen eine wichtige Rolle bei der Kreismethode nach Hardy, Littlewood und Winogradow.[2] → Siehe dazu auch Trigonometrisches Polynom.
Durch Ramanujansummen kann man interessante Darstellungen für zahlentheoretische Funktionen gewinnen, die eine analytische Fortsetzung dieser Funktionen erlauben.
Schreibweisen
Für eine übersichtliche Darstellung wird in der Zahlentheorie abkürzend
geschrieben und die Funktion
wird als zahlentheoretische Exponentialfunktion bezeichnet.[3]
Mit der zahlentheoretischen Exponentialfunktion lässt sich die Ramanujansumme
als
schreiben.
Für ganze Zahlen
und
schreibt man
, gelesen „a teilt b“, falls eine ganze Zahl
existiert, mit der
gilt. Existiert keine solche Zahl, schreibt man
, gelesen „a teilt b nicht“. Das Summationssymbol
bedeutet, dass der Summationsindex
alle positiven Teiler von
durchläuft. Für eine Primzahlpotenz
und eine ganze Zahl
schreibt man
(gelesen „
teilt b genau“), falls
aber
– mit anderen Worten, falls
.
Elementare Eigenschaften
Hält man eine der Variablen
oder
in der Ramanujansumme
fest, so erhält man eine zahlentheoretische Funktion in Abhängigkeit von der anderen Variablen,
muss für diesen Begriff als Variable auf
beschränkt werden. Bei festem
ist die Funktion
-periodisch, das heißt, es gilt
, falls
.
Lässt man die Bedingung der Teilerfremdheit bei der Summation fort, erhält man
![{\displaystyle \sum _{a=1}^{q}e\left({\frac {a}{q}}\cdot n\right)={\begin{cases}q\quad {\text{falls}}\;n\equiv 0{\pmod {q}}\\0\quad {\text{sonst,}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1f5dac3e660bfe64afe0596da02f3ee1563ca85)
denn dann ist die linke Seite eine geometrische Summe. Sortiert man in der Summe nach dem größten gemeinsamen Teiler von
und
, dann ergibt sich eine Dirichlet-Faltung der zahlentheoretischen Funktion
mit der konstanten Funktion
:
.
Daraus folgt mit der Möbiusschen Umkehrformel:
![{\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{{d\mid q} \atop {n\equiv 0{\pmod {d}}}}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)\cdot d=\sum _{d\mid (q,n)}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)\cdot d.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30ef7af6754007d934a7c5b175ba16b57cca58e9)
Daraus folgt dann:
- Die Ramanujansumme
nimmt stets reelle und sogar ganzzahlige Werte an, - es gilt
,
, - sie ist bei festem
eine multiplikative zahlentheoretische Funktion von
, das heißt,
- aus
folgt ![{\displaystyle c_{qr}(n)=c_{q}(n)\cdot c_{r}(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af73d6b5269dcfa3e614eec055ea442566c9ad38)
- und es gilt stets
. - Man kann die Ramanujansumme durch die Eulersche φ-Funktion
und die Möbiusfunktion
darstellen:[4]
(für
setzt man
, allgemeiner
als positiven ggT fest),
- ihre Werte sind bei festem
betragsmäßig durch
beschränkt, - ist
nicht quadratfrei, so ist
.
Ramanujansummen zur Darstellung von zahlentheoretischen Funktionen
Bereits Ramanujan zeigte für einige wichtige Spezialfälle, dass man mit seinen Summen interessante Darstellungen für zahlentheoretische Funktionen gewinnen kann. Dazu wird eine spezielle Art diskreter Fourier-Transformation für zahlentheoretische Funktionen des größten gemeinsamen Teilers eingeführt:[5] Seien
und
eine zahlentheoretische Funktion. Dann heißt
![{\displaystyle F_{f}(n,q)=\sum _{a=1}^{q}f((a,q))\cdot e\left(-{\frac {a}{q}}\cdot n\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7bf8eb8edb411266228f2be8d35bfb58a1112be)
diskrete Fouriertransformierte von
. Für diese Fouriertransformierte gilt
und
für die inverse Transformierte.[5]
Bei diesen Transformationen müssen die bestimmenden Gleichungen durch die Bildung des größten gemeinsamen Teilers nur endlich viele Koeffizienten mit positivem Index berücksichtigen.
Beispiele
- Größter gemeinsamer Teiler:
![{\displaystyle (n,q)=\sum _{a=1}^{q}e\left({\frac {a}{q}}\cdot n\right)\cdot \sum _{d\mid q}{\frac {c_{d}(a)}{d}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/244d3b2eceac275fdf17660dead5e54964c27134)
- Diese Darstellung erlaubt eine analytische Fortsetzung des größten gemeinsamen Teilers in der ersten Stelle
auf
als ganze Funktion.[5]
![{\displaystyle \varphi (q)=\sum _{a=1}^{q}(a,q)\cdot e\left(-{\frac {a}{q}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/994e9aee3e3b0db9f398ab8f5d58344af14f8702)
- Daraus folgen durch Aufteilen in Real- und Imaginärteil die trigonometrischen Relationen
und ![{\displaystyle \quad \sum _{a=1}^{q}(a,q)\cdot \sin \left(2\pi \cdot {\frac {a}{q}}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e95723c42d2649725b8f3288642c663e46d5e4a)
- Die Teilerfunktion
lässt sich für
mittels Ramanujansummen explizit als Reihe darstellen:[6]
![{\displaystyle \sigma _{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {c_{m}(n)}{m^{k+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfedf5439f98bf9639cf8f94b6587af0d586e5d9)
- Die Berechnung der ersten Werte von
zeigt das Schwanken um den „Mittelwert“ (die durchschnittliche Größenordnung)
: ![{\displaystyle \sigma _{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\left[1+{\frac {(-1)^{n}}{2^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {2\pi n}{3}}}{3^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {\pi n}{2}}}{4^{k+1}}}+\cdots \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf656d9d28eb4e6b5948ea58d577e6f17bf3fbdd)
- Eine Art Orthogonalität für Ramanujansummen: Sei
die zahlentheoretische Einsfunktion, also das neutrale Element der Faltungsoperation mit
![{\displaystyle \eta (n)={\begin{cases}1\quad (n=1)\\0\quad \left(n\in \mathbb {N} \setminus \lbrace 1\rbrace \right).\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c001d7d9188ec16ba5cd7fed0b163894b76f93f)
- Dann folgt durch inverse Fouriertransformation für
![{\displaystyle \eta ((n,q))={\frac {1}{q}}\sum _{a=1}^{q}c_{q}(a)\cdot e\left({\frac {a}{q}}\cdot n\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85372d04b065397a8bf5965b7a1b6a1c077b0489)
- Das bedeutet: Genau dann, wenn die rechtsstehende Summe nicht verschwindet, sind die Zahlen
und
teilerfremd. Die rechte Seite der Gleichung hat dann den Wert 1.
Literatur
- Jörg Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer, Berlin, Heidelberg, New York 1995, ISBN 3-540-58821-3.
- Godfrey Harold Hardy: Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by his Life and Work. American Mathematical Society/Chelsea, Providence 1999, ISBN 978-0-8218-2023-0.
- Godfrey Harold Hardy, Edward Maitland Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 5. Auflage. Oxford University Press, Oxford 1980, ISBN 978-0-19-853171-5.
- John Knopfmacher: Abstract Analytic Number Theory. Neue Auflage. Dover Publications, 2000, ISBN 0-486-66344-2.
- Srinivasa Ramanujan: On Certain Trigonometric Sums and their Applications in the Theory of Numbers. In: Transactions of the Cambridge Philosophical Society. Band 22, Nr. 15, 1918, S. 259–276.
- Srinivasa Ramanujan: On Certain Arithmetical Functions. In: Transactions of the Cambridge Philosophical Society. Band 22, Nr. 9, 1916, S. 159–184.
- Srinivasa Ramanujan: Collected Papers. American Mathematical Society/Chelsea, Providence 2000, ISBN 978-0-8218-2076-6.
- Robert Charles Vaughan: The Hardy-Littlewood Method. 2. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 1997, ISBN 0-521-57347-5.
- Wolfgang Schramm: The Fourier Transform of functions of the Greatest Common Divisor. In: Integers: Electronical Journal of Combinatorical Number Theory. Band 8, Nr. 50, 2008 (emis.de [PDF]).
- Ivan Matveevitch Vinogradov: The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers. Translated from the Russian and annotated by Klaus Friedrich Roth and Anne Ashley Davenport. New York, Dover 2004.
Einzelnachweise
- ↑ Ramanujan (1916).
- ↑ Vaughan (1997).
- ↑ Brüdern (1995) S. 20.
- ↑ Brüdern (1995) Lemma 1.3.1.
- ↑ a b c Schramm (2008).
- ↑ E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 130.