Minimale Primzahl

In der Unterhaltungsmathematik ist eine minimale Primzahl eine Primzahl ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$, bei der keine Teilfolge ihrer Ziffern in einer gegebenen Basis eine Primzahl ist, solange man sie nicht miteinander vertauscht.

• Die Zahl ${\displaystyle 109}$ ist keine minimale Primzahl, weil man aus ihren Ziffern die Primzahl ${\displaystyle 19}$ machen kann. Die einzelnen Ziffern der Teilfolgen müssen also in der ursprünglichen Zahl nicht zusammenhängend sein.
• Aus der Zahl ${\displaystyle 409}$ kann man folgende Teilfolgen ihrer Ziffern machen: ${\displaystyle 0,4,9,09,40,49}$. Keine dieser Zahlen ist eine Primzahl, somit ist ${\displaystyle 409}$ eine minimale Primzahl.
• Die Zahl ${\displaystyle 991}$ ist eine minimale Primzahl, weil man aus ihren Ziffern nur die Zahlen ${\displaystyle 1,9,91}$ und ${\displaystyle 99}$ machen kann und keine dieser Zahlen prim ist. Die einzelnen Ziffern der ursprünglichen Zahl dürfen aber nicht vertauscht werden (sonst wäre in diesem Fall die Teilfolge ${\displaystyle 19}$ sehr wohl eine Primzahl).
• Die einzigen minimalen Primzahlen für die Basis ${\displaystyle 10}$ (also im Dezimalsystem) sind die folgenden 26 Primzahlen (Folge A071062 in OEIS):

${\displaystyle 2,3,5,7,11,19,41,61,89,409,449,499,881,991,6\,469,6\,949,9\,001,9\,049,9\,649,9\,949,60\,649,666\,649,946\,669,60\,000\,049,66\,000\,049,66\,600\,049}$

• Folgende Tabelle zeigt die minimalen Primzahlen in der Basis ${\displaystyle b}$ (wobei aus Ermangelung an weiteren Ziffern ${\displaystyle A=10}$ und ${\displaystyle B=11}$ gesetzt wird). Es gibt zur jeweiligen Basis nicht mehr minimale Primzahlen.^[1][2]

Basis ${\displaystyle b}$	minimale Primzahlen zur Basis ${\displaystyle b}$, geschrieben zur Basis ${\displaystyle b}$
12	10, 11
13	2, 10, 111
14	2, 3, 11
15	2, 3, 10, 111, 401, 414, 14.444, 44.441 (insgesamt 8 minimale Primzahlen)
16	2, 3, 5, 11, 4.401, 4.441, 40.041 (insgesamt 7 minimale Primzahlen)
17	2, 3, 5, 10, 14, 16, 41, 61, 11.111 (insgesamt 9 minimale Primzahlen)
18	2, 3, 5, 7, 111, 141, 161, 401, 661, 4.611, 6.101, 6.441, 60.411, 444.641, 444.444.441 (insgesamt 15 minimale Primzahlen)
19	2, 3, 5, 7, 14, 18, 41, 81, 601, 661, 1.011, 1.101 (insgesamt 12 minimale Primzahlen)
10	2, 3, 5, 7, 11, 19, 41, 61, 89, 409, 449, 499, 881, 991, 6.469, 6.949, 9.001, 9.049, 9.649, 9.949, 60.649, 666.649, 946.669, 60.000.049, 66.000.049, 66.600.049 (insgesamt 26 minimale Primzahlen)
11	2, 3, 5, 7, 10, 16, 18, 49, 61, 81, 89, 94, 98, 9A, 199, 1AA, 414, 919, A1A, AA1, 1.1A9, 6.6A9, A.119, A.911, A.AA9, 11.144, 11.191, 11.41A, 11.4A1, 14.11A, 14.4A4, 14.A11, 1A.114, 1A.411, 40.41A, 40.441, 40.4A1, 41.11A, 41.1A1, 44.401, 44.4A1, 44.A01, 6A.609, 6A.669, 6A.696, 6A.906, 6A.966, 90.901, 99.111, A0.111, A0.669, A0.966, A0.999, A0.A09, A4.401, A6.096, A6.966, A6.999, A9.091, A9.699, A9.969, 401.A11, 404.001, 404.111, 440.A41, 4A0.401, 4A4.041, 60A.069, 6A0.096, 6A0.A96, 6A9.099, 6A9.909, 909.991, 999.901, A00.009, A60.609, A66.069, A66.906, A69.006, A90.099, A90.996, A96.006, A96.666, 1.111.14A, 1.111.A14, 1.111.A41, 1.144.441, 1.4A4.444, 1.A44.444, 4.000.111, 4.011.111, 4.1A1.111, 4.411.111, 4.444.41A, 4.A11.111, 4.A40.001, 6.000.A69, 6.000.A96, 6.A00.069, 9.900.991, 9.990.091, A.000.696, A.000.991, A.006.906, A.040.041, A.141.111, A.600.A69, A.906.606, A.909.009, A.990.009, 40.A00.041, 60.A99.999, 99.000.001, A0.004.041, A9.909.006, A9.990.006, A9.990.606, A9.999.966, 400.00A.401, 44A.444.441, 900.000.091, A00.990.001, A44.444.111, A66.666.669, A90.000.606, A99.999.006, A99.999.099, 6.000.00A.999, A.000.144.444, A.900.000.066, A0.000.000.001, A0.014.444.444, 4.000.000.0A0.041, A.000.000.014.444, A.044.444.444.441, A.144.444.444.411, 40.000.000.000.401, A0.000.044.444.441, A00.000.000.444.441, 11.111.111.111.111.111, 14.444.444.444.441.111, 44.444.444.444.444.111, A1.444.444.444.444.444, A9.999.999.999.999.996, 1.444.444.444.444.444.444, 40.000.000.000.000.00A.041, A.999.999.999.999.999.999.999, A44.444.444.444.444.444.444.444.441, 40.000.000.000.000.000.000.000.000.041, 440.000.000.000.000.000.000.000.000.001, 999.999.999.999.999.999.999.999.999.999.991, 444.444.444.444.444.444.444.444.444.444.444.444.444.444.441 (insgesamt 152 minimale Primzahlen)
12	2, 3, 5, 7, B, 11, 61, 81, 91, 401, A41, 4.441, A.0A1, AA.AA1, 44.AAA1, A.AA0.001, AA.000.001 (insgesamt 17 minimale Primzahlen)

• Die einzigen minimalen Primzahlen für die Basis 12 (also im Duodezimalsystem) sind die obigen 17 Primzahlen.

Im Dezimalsystem geschrieben lauten sie wie folgt (Folge A110600 in OEIS):

${\displaystyle 2,3,5,7,11,13,73,97,109,577,1\,489,7\,537,17\,401,226\,201,1\,097\,113,32\,555\,521,388\,177\,921}$

Beispiel:

Die minimale Primzahl ${\displaystyle A41_{12}}$ ist im Dezimalsystem die Zahl ${\displaystyle {\underline {10}}\cdot 12^{2}+{\underline {4}}\cdot 12^{1}+{\underline {1}}\cdot 12^{0}=1440+48+1=1489_{10}}$. Aus ihr kann man die Nicht-Primzahlen ${\displaystyle 1_{12}=1_{10},4_{12}=4_{10},A_{12}=10_{10},41_{12}=49_{10},A1_{12}=121_{10}}$ und ${\displaystyle A4_{12}=124_{10}}$ machen.

• Die Anzahl der minimalen (zum Teil PRP-) Primzahlen bei gegebener Basis ${\displaystyle b=2,3,\dotsc }$ sind die folgenden:^[3]

2, 3, 3, 8, 7, 9, 15, 12, 26, 152, 17, 228, 240, 100, 483, 1.279~1.280,^[4] 50, 3.462~3.463,^[5] 651, 2600~2601,^[6] 1.242, 6.021, 306, 17.597~17.609,^[7] 5.662~5.664,^[8] 17.210~17.215,^[9] 5.783~5.784,^[10] 57.283~57.297,^[11] 220, 79.182~79.206,^[12] 45.205~45.283,^[13] 57.676~57.709,^[14] 56.457~56.490,^[15] 182378~182393,^[16] 6.296~6.297,^[17] …

Beispiel:

An der 14. Stelle obiger Liste steht die Zahl ${\displaystyle 240}$. Es gibt also ${\displaystyle 240}$ minimale Primzahlen zur Basis ${\displaystyle b=14}$.

• Die Stellenanzahl der größten minimalen (zum Teil PRP-) Primzahlen bei gegebener Basis ${\displaystyle b=2,3,\dotsc }$ sind die folgenden:^[1][3]

${\displaystyle {\begin{aligned}&2,3,2,5,5,5,9,4,8,45,8,32\,021,86,107,3\,545,\geq 111\,334,33,\geq 110\,986,449,\geq 479\,150,764,800\,874,100,\geq 136\,967,\\&\geq 8\,773,\geq 109\,006,\geq 94\,538,\geq 174\,240,1\,024,\geq 9\,896,\geq 9\,750,\geq 9\,961,\geq 9\,377,\geq 9\,599,\geq 81\,995,\dotsc \end{aligned}}}$

Beispiel 1:

An der 13. Stelle obiger Liste steht die Zahl ${\displaystyle 32\,021}$. Die größte minimale (PRP-)Primzahl zur Basis ${\displaystyle b=13}$ hat also ${\displaystyle 32\,021}$ Stellen.

Beispiel 2:

An der 26. Stelle obiger Liste steht der Eintrag ${\displaystyle \geq 8\,773}$. Die größte minimale (PRP-)Primzahl zur Basis ${\displaystyle b=26}$ hat also ${\displaystyle 8\,773}$ Stellen, es gibt aber noch ungelöste Fälle, die mehr Stellen haben.

• Die größten minimalen (zum Teil PRP-) Primzahlen bei gegebener Basis ${\displaystyle b=2,3,\dotsc }$ sind die folgenden, wenn man sie im Dezimalsystem schreibt:

${\displaystyle {\begin{aligned}&3,13,5,3\,121,5\,209,2\,801,76\,695\,841,811,66\,600\,049,29\,156\,193\,474\,041\,220\,857\,161\,146\,715\,104\,735\,751\,776\,055\,777,388\,177\,921,13^{32\,020}\cdot 8+183,\\&105\,424\,857\,819\,287\,798\,806\,418\,819\,113\,233\,738\,918\,727\,566\,030\,978\,473\,259\,776\,662\,287\,591\,943\,095\,417\,282\,958\,456\,246\,916\,612\,161,\\&436\,635\,814\,641\,280\,043\,127\,962\,407\,363\,407\,208\,906\,111\,673\,434\,962\,498\,607\,709\,751\,248\,805\,460\,292\,422\,544\,779\,495\,998\,033\,626\,489\,944\,124\,062\,146\,459\,306\,989\,397\,233,\\&16^{3\,544}\cdot 9+145,\geq (17^{111\,333}\cdot 73-9)/16,249\,069\,897\,374\,447\,078\,426\,903\,207\,266\,791\,381\,270\,529,\geq (19^{110\,984}\cdot 904-1)/3,\\&(20^{449}\cdot 16-2\,809)/19,\geq (21^{479\,149}\cdot 51-1\,243)/4,22^{763}\cdot 20+7\,041,(23^{800\,873}\cdot 106-7)/11,\\&973\,767\,003\,942\,195\,520\,947\,294\,504\,280\,890\,002\,680\,537\,875\,404\,412\,883\,659\,428\,819\,153\,939\,518\,991\,719\,953\,852\,457\,999\,342\,229\,586\,282\,557\,076\,411\,687\,300\,474\,817\,686\,178\,175\,693\,329,\\&\geq (25^{136\,966}\cdot 37+63)/4,\geq (26^{8773}\cdot 22+53)/25,\geq 27^{109\,005}\cdot 10+697,\geq (28^{94\,536}\cdot 6\,092-143)/9,\geq 29^{174\,239}\cdot 24+13\,361,30^{1\,023}\cdot 12+1,\\&\geq (31^{9\,894}\cdot 4\,187-5)/6,\geq (32^{9\,749}\cdot 898-309)/31,\geq (33^{9\,961}\cdot 21+7\,723)/32,\geq 34^{9\,375}\cdot 1\,048+27,\geq (35^{9\,597}\cdot 13\,456-9)/17,\geq (36^{81\,995}\cdot 5+821)/7,\dotsc \end{aligned}}}$

Beispiel:

An der 12. Stelle obiger Liste steht die Zahl ${\displaystyle 388\,177\,921}$. Tatsächlich ist die größte minimale Primzahl zur Basis ${\displaystyle 12}$ die Zahl ${\displaystyle AA\,000\,001_{12}={\underline {10}}\cdot 12^{7}+{\underline {10}}\cdot 12^{6}+{\underline {1}}\cdot 12^{0}=388\,177\,921_{10}}$.

• Es gibt genau 32 zusammengesetzte Zahlen im Dezimalsystem, die aus Ziffern bestehen, deren Teilfolgen keine weiteren zusammengesetzten Zahlen ergeben:

${\displaystyle 4,6,8,9,10,12,15,20,21,22,25,27,30,32,33,35,50,51,52,55,57,70,72,75,77,111,117,171,371,711,713,731}$ (Folge A071070 in OEIS)

Beispiel:

Aus der Zahl ${\displaystyle 731}$ kann man die Zahlen ${\displaystyle 1,3,7,31,71}$ und ${\displaystyle 73}$ machen, die alle nicht zusammengesetzt sind. Diese Zahlen sind somit das genaue Gegenteil der minimalen Primzahlen.

• Es gibt im Dezimalsystem genau 146 Primzahlen ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}$ (also der Form ${\displaystyle p=4k+1}$ mit ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$), die aus Ziffern bestehen, deren Teilfolgen im Dezimalsystem keine weiteren Primzahlen der Form ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}$ ergeben:

${\displaystyle {\begin{aligned}&5,13,17,29,37,41,61,73,89,97,101,109,149,181,233,277,281,349,409,433,449,\\&677,701,709,769,821,877,881,1\,669,2\,221,3\,001,3\,121,3\,169,3\,221,3\,301,3\,833,\\&4\,969,4\,993,6\,469,6\,833,6\,949,7\,121,7\,477,7\,949,9\,001,9\,049,9\,221,9\,649,9\,833,\dotsc ,\\&8\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,888\,833\end{aligned}}}$ (Folge A111055 in OEIS)

Beispiel:

Aus der Primzahl ${\displaystyle 3\,169}$ kann man die Zahlen ${\displaystyle 1,3,6,9,16,19,31,36,39,69,169,316,319}$ und ${\displaystyle 369}$ machen, die alle keine Primzahlen der Form ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}}$ sind.

• Es gibt im Dezimalsystem genau 113 Primzahlen ${\displaystyle p\equiv 3{\pmod {4}}}$ (also der Form ${\displaystyle p=4k+3}$ mit ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$), die aus Ziffern bestehen, deren Teilfolgen im Dezimalsystem keine weiteren Primzahlen der Form ${\displaystyle p\equiv 3{\pmod {4}}}$ ergeben (Folge A111056 in OEIS):

${\displaystyle {\begin{aligned}&3,7,11,19,59,251,491,499,691,991,2\,099,2\,699,2\,999,4\,051,4\,451,4\,651,5\,051,5\,651,5\,851,6\,299,6\,451,6\,551,6\,899,8\,291,8\,699,8\,951,\\&8\,999,9\,551,9\,851,22\,091,22\,291,66\,851,80\,051,80\,651,84\,551,85\,451,86\,851,88\,651,92\,899,98\,299,98\,899,\dotsc ,(10^{19\,153}\cdot 2+691)/9\end{aligned}}}$

Beispiel:

Aus der Primzahl ${\displaystyle 4051}$ kann man die Zahlen ${\displaystyle 0,1,4,5,01,05,40,41,45,51,051,401,405}$ und ${\displaystyle 451}$ machen, die allesamt keine Primzahlen der Form ${\displaystyle p\equiv 3{\pmod {4}}}$ sind.

• Die Anzahl der minimalen zusammengesetzten Zahlen bei gegebener Basis ${\displaystyle b=2,3,\ldots }$ sind die folgenden:^[18]

${\displaystyle 3,4,9,10,19,18,26,28,32,32,46,43,52,54,60,60,95,77,87,90,94,97,137,117,111,115,131,123,207,147,160,163,201,169,216,\dotsc }$

• Die Stellenanzahl der größten minimalen zusammengesetzten Zahlen bei gegebener Basis ${\displaystyle b=2,3,\dotsc }$ sind die folgenden:^[18]

${\displaystyle 4,3,3,3,4,3,3,2,3,3,4,3,3,2,3,3,4,3,3,2,3,3,4,2,3,2,3,3,4,3,3,2,3,2,4,\dotsc }$

• Die größten minimalen zusammengesetzten Zahlen bei gegebener Basis sind die folgenden, wenn man sie im Dezimalsystem schreibt:^[18]

${\displaystyle {\begin{aligned}&15,9,21,27,475,49,477,70,731,123,8797,169,1\,529,208,2\,899,291,99\,491,361,5\,423,418,9\,275,\\&529,30\,995,598,15\,645,644,18\,511,843,795\,037,961,23\,779,1054,34\,311,1\,116,56\,129,\dotsc \end{aligned}}}$

• Trunkierbare Primzahl
• Permutierbare Primzahl
• Zirkulare Primzahl

1. ↑ ^{a b} Curtis Bright: Minimale Primzahlen und ungelöste Fälle („Familien“) mit Basen von 2 bis 30. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
2. ↑ Curtis Bright, Jeffrey Shallit, Raymond Devillers: Minimal Elements for the Prime Numbers. (PDF; 0,3 MB). In: cs.uwaterloo.ca. University of Waterloo, Université libre de Bruxelles, 7. Dezember 2016, abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
3. ↑ ^{a b} Curtis Bright, Raymond Devillers, Jeffrey Shallit: Minimal Elements for the Prime Numbers. (PDF) In: cs.uwaterloo.ca. University of Waterloo, 11. Juni 2015, S. 15, abgerufen am 9. Juni 2024. 
4. ↑ Curtis Bright: Für die Basis ${\displaystyle b=17}$ gibt es 1.279 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und einen ungelösten Fall: F1{9}. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
5. ↑ Curtis Bright: Für die Basis ${\displaystyle b=19}$ gibt es 3.462 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und einen ungelösten Fall: EE1{6}. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
6. ↑ Curtis Bright: Für die Basis ${\displaystyle b=21}$ gibt es 2.600 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und einen ungelösten Fall: G{0}FK. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
7. ↑ Curtis Bright: Für die Basis ${\displaystyle b=25}$ gibt es 17.597 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 12 ungelöste Fälle. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
8. ↑ Curtis Bright: Für die Basis ${\displaystyle b=26}$ gibt es 5.662 bekannte minimale Primzahlen und zwei ungelöste Fälle: {A}6F und {I}GL. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
9. ↑ Curtis Bright: Für die Basis ${\displaystyle b=27}$ gibt es 17.210 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 5 ungelöste Fälle. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
10. ↑ Curtis Bright: Für die Basis ${\displaystyle b=28}$ gibt es 5.783 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und einen ungelösten Fall: O{A}F. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
11. ↑ Curtis Bright: Für die Basis ${\displaystyle b=29}$ gibt es 57.283 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 14 ungelöste Fälle. In: raw.githubusercontent.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
12. ↑ RaymondDevillers: Für die Basis ${\displaystyle b=31}$ gibt es 79.182 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 24 ungelöste Fälle. In: raw.githubusercontent.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
13. ↑ RaymondDevillers: Für die Basis ${\displaystyle b=32}$ gibt es 45.205 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 78 ungelöste Fälle. In: raw.githubusercontent.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
14. ↑ RaymondDevillers: Für die Basis ${\displaystyle b=33}$ gibt es 57.676 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 33 ungelöste Fälle. In: raw.githubusercontent.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
15. ↑ RaymondDevillers: Für die Basis ${\displaystyle b=34}$ gibt es 56.457 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 33 ungelöste Fälle. In: raw.githubusercontent.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
16. ↑ RaymondDevillers: Für die Basis ${\displaystyle b=35}$ gibt es 182.378 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 15 ungelöste Fälle. In: raw.githubusercontent.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
17. ↑ RaymondDevillers: Für die Basis ${\displaystyle b=36}$ gibt es 6.296 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und einen ungelösten Fall: O{L}Z. In: Github.com. Abgerufen am 9. Juni 2024 (englisch).
18. ↑ ^{a b c} Curtis Bright, Raymond Devillers, Jeffrey Shallit: Minimal Elements for the Prime Numbers. In: cs.uwaterloo.ca. University of Waterloo, 11. Juni 2015, S. 20, abgerufen am 9. Juni 2024. 

• Chris K. Caldwell: minimal prime. In: t5k.org. Prime Pages – The Prime Glossary; abgerufen am 9. Juni 2024 

• Curtis Bright: Minimale Primzahlen und ungelöste Fälle („Familien“) mit Basen von 2 bis 30. In: Github.com.
• RaymondDevillers: Minimale Primzahlen und ungelöste Familien mit Basen von 28 bis 50. In: Github.com.