Jacobis Formel

Jacobis Formel von Carl Gustav Jacob Jacobi drückt in der Analysis die Ableitungsfunktion der Determinante einer von einer Variablen ${\displaystyle t}$ abhängenden Matrix ${\displaystyle A(t)}$ durch die Adjunkte von ${\displaystyle A}$ und der Ableitung von ${\displaystyle A}$ nach ${\displaystyle t}$ aus.^[1]

Wenn die ${\displaystyle n\times n}$-Matrix ${\displaystyle A(t)\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ eine differenzierbare Funktion eines Parameters ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ist, dann besagt der Satz:

${\displaystyle \partial _{t}\det A=\operatorname {Sp} (\operatorname {adj} (A)\partial _{t}A)}$

Darin bezeichnet ${\displaystyle \partial _{t}}$ die Ableitung nach ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle \det }$ die Determinante, ${\displaystyle \operatorname {Sp} }$ die Spur und ${\displaystyle \operatorname {adj} }$ die Adjunkte. Mit dem Frobenius-Skalarprodukt von Matrizen ${\displaystyle \langle A,B\rangle :=\operatorname {Sp} (A^{\mathrm {T} }B)}$ kann das mit der Kofaktormatrix ${\displaystyle \operatorname {cof} (A)=\operatorname {adj} (A)^{\mathrm {T} }}$ als

${\displaystyle \partial _{t}\det(A)=\langle \operatorname {cof} (A),\partial _{t}A\rangle }$

notiert werden. Wenn ${\displaystyle A}$ invertierbar ist, schreibt sich das

${\displaystyle \partial _{t}\det(A)=\det(A)\langle (A^{-1})^{\mathrm {T} },\partial _{t}A\rangle }$

Das charakteristische Polynom einer ${\displaystyle n\times n}$-Matrix ${\displaystyle M}$ lautet

${\displaystyle \det(\lambda E-M)=\sum _{k=0}^{n}c_{k}\lambda ^{k}}$,

wobei ${\displaystyle E}$ die Einheitsmatrix, ${\displaystyle c_{n}=1}$ und ${\displaystyle c_{n-1}=-\operatorname {Sp} (M)}$ ist. Mit dem Determinantenproduktsatz zeigt sich bei ${\displaystyle \det(A)\neq 0}$, sodass die Inverse existiert, und ${\displaystyle \lambda =\eta ^{-1}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(A+\eta \,H)&=\det \left(\eta \,A\left(\eta ^{-1}E+A^{-1}H\right)\right)=\eta ^{n}\det(A)\det \left(\eta ^{-1}E+A^{-1}H\right)\\&=\eta ^{n}\det(A)\left(\eta ^{-n}+\eta ^{1-n}\operatorname {Sp} (A^{-1}H)+{\mathcal {O}}(\eta ^{2-n})\right)\\&=\det(A)\left(1+\eta \,\operatorname {Sp} (A^{-1}H)+{\mathcal {O}}(\eta ^{2})\right),\end{aligned}}}$

worin das Landau-Symbole ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\eta ^{k})}$ Terme zusammenfasst, die ${\displaystyle \eta }$ in mindestens ${\displaystyle k}$-ter Ordnung enthalten und die im folgenden Grenzwert nichts beitragen.

So berechnet sich die Richtungsableitung

${\displaystyle D_{H}\det(A){:}=\lim _{\eta \to 0}{\frac {\det(A+\eta \,H)-\det(A)}{\eta }}=\det(A)\,\operatorname {Sp} (A^{-1}H)}$

und nach der Kettenregel die Ableitung

${\displaystyle \partial _{t}\det(A)=\det(A)\operatorname {Sp} (A^{-1}\partial _{t}A)=\operatorname {Sp} (\operatorname {adj} (A)\partial _{t}A)=\langle \operatorname {cof} (A),\partial _{t}A\rangle }$

Die Menge der invertierbaren Matrizen in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n}}$ sind eine dichte Teilmenge des Matrizenraums ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n}}$, weswegen die Formel für alle quadratischen Matrizen gilt.

Die Determinante des Deformationsgradienten ${\displaystyle F}$ gibt das Verhältnis eines (infinitesimal kleinen) Volumens eines Körpers im Ausgangszustand ${\displaystyle \mathrm {d} V}$ und in seinem aktuellen deformierten Zustand ${\displaystyle \mathrm {d} v}$:

${\displaystyle \det F=\mathrm {d} v/\mathrm {d} V>0}$.

Die Zeitableitung hiervon ist nach Jacobis Formel

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}\det F&=\langle \operatorname {cof} F,\partial _{t}F\rangle \\&=\det F\langle (F^{-1})^{\mathrm {T} },\partial _{t}F\rangle \\&=\det F\operatorname {Sp} (F^{-1}\partial _{t}F)\\&=\det F\operatorname {Sp} l\\&=\det F\operatorname {div} {\vec {v}}\end{aligned}}}$

Darin ist ${\displaystyle l=\partial _{t}FF^{-1}}$ der Geschwindigkeitsgradient, dessen Spur die Divergenz der Strömungsgeschwindigkeit ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ist. Diese Divergenz gibt die Quellendichte in der Strömung an, die demnach genau dann verschwindet, wenn die Determinante des Deformationsgradienten zeitlich konstant ist.

1. ↑ Jan R. Magnus, Heinz Neudecker: Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics. Wiley, 1999, ISBN 0-471-98633-X, S. 149 f. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).