In der Mathematik ist das Hölder-Mittel, der Höldersche Mittelwert (nach Otto Hölder, 1859–1937) oder das Potenzmittel (engl. u. a. (p-th) power mean) ein (manchmal auch der) verallgemeinerter Mittelwert. Die Bezeichnung ist uneinheitlich, Bezeichnungen wie das -te Mittel, Mittel der Ordnung oder vom Grad oder mit Exponent sind auch im Umlauf. Im Englischen wird es auch als generalized mean bezeichnet.
Ebenso uneinheitlich sind die Schreibweisen, statt wird auch , oder geschrieben.
Das Hölder-Mittel verallgemeinert die seit den Pythagoreern bekannten Mittelwerte wie das arithmetische, geometrische, quadratische und harmonische Mittel durch Einführung eines Parameters
Inhaltsverzeichnis
1Definition
2Eigenschaften
2.1Spezialfälle
3Weitere Verallgemeinerungen
3.1Gewichtetes Hölder-Mittel
3.2f-Mittel
4Siehe auch
5Literatur
6Weblinks
Definition
Für eine reelle Zahl wird das Hölder-Mittel der Zahlen zur Stufe definiert als
,
wobei die Wurzelschreibweise üblicherweise nur für natürliche Zahlen verwendet wird.
Eine dazu passende Definition für ist
Eigenschaften
Das Hölder-Mittel ist homogen bezüglich , das heißt
Außerdem gilt
Eine wichtige Ungleichung zu den Hölder-Mitteln ist
Daraus folgt etwa (Spezialfälle) die Ungleichung der Mittelwerte
Die Potenzmittelwerte stehen mit den Stichprobenmomenten um Null recht einfach in Beziehung:
Auch zu dem Hölder-Mittel lässt sich ein gewichtetes Mittel definieren: Das gewichtete Hölder-Mittel lässt sich mit den Gewichten mit definieren als
wobei für das ungewichtete Hölder-Mittel verwendet wird.
f-Mittel
Vergleiche Quasi-arithmetisches Mittel
Das Hölder-Mittel lässt sich weiter verallgemeinern zu
bzw. gewichtet zu
Dabei ist eine Funktion von ; das Hölder-Mittel verwendet .
Weitere Beispiele:
Sind die Renditen einer Kapitalanlage in den Jahren bis , so erhält man die mittlere Rendite als -Mittel der einzelnen Renditen zur Funktion .
Sind die Alter von Personen, so erhält man das versicherungstechnische Durchschnittsalter als -Mittel der einzelnen Alter zur Funktion ; dabei bedeutet die Sterbeintensität. In der Praxis ist das summengewichtete versicherungstechnische Durchschnittsalter relevant, hier werden die Alter der versicherten Personen mit den jeweiligen Versicherungssummen gewichtet; die Sterbeintensität wird oft durch die einjährige Sterbewahrscheinlichkeit ersetzt.