Fußpunktkreis

{\displaystyle \triangle ABC} — $\triangle ABC$ mit Seiten $a,b,c$ und Punkt $P$
Fußpunkte von $P$ : $P_{a},P_{b},P_{c}$
Umkreismittelpunkt: $O$
Die grünen Strecken werden in der Radiusformel verwandt

{\displaystyle ABC} — Dreieck $ABC$ mit isogonal konjugierten Punkten $P$ und $Q$
6 Fußpunkte auf gemeinsamem Fußpunktkreis: $P_{a},P_{b},P_{c},Q_{a},Q_{b},Q_{c}$
$M$ als Mittelpunkt des Fußpunktkreises und der Strecke $PQ$
Winkelhalbierende: $w_{a},w_{b},w_{c}$

{\displaystyle A,B,C,D} — 4 Punkte $A,B,C,D$ und 4 Fußpunktkreise mit gemeinsamen Schnittpunkt $S$

Der Fußpunktkreis ist ein spezieller Kreis in der Dreiecksgeometrie, der durch ein Dreieck und einen Punkt in der Ebene definiert ist.

Definition

Zu einem Dreieck $ABC$ und einem Punkt $P$ erhält man auf den (verlängerten) Dreiecksseiten drei Fußpunkte $P_{a},P_{b},P_{c}$ des Punktes $P$ . Der durch diese drei Fußpunkte definierte Kreis wird als Fußpunktkreis bezeichnet, er ist damit der Umkreis des Fußpunktdreiecks $P_{a}P_{b}P_{c}$ .^[1]^[2]

Eigenschaften

Für den Radius $r$ des Fußpunktkreises eines Dreiecks $ABC$ mit Punkt $P$ gilt die folgende Formel, in der Radius des Umkreises des Dreiecks mit $R$ und dessen Mittelpunkt mit $O$ bezeichnet sind:^[2]

r={\frac {|PA|\cdot |PB|\cdot |PC|}{2\cdot (R^{2}-|PO|^{2})}}

Der Nenner in der obigen Formel wird 0, wenn der Punkt $P$ auf dem Umkreis des Dreiecks $ABC$ liegt. Dies lässt sich als ein zu einer Geraden entarteter Kreis mit unendlichem Radius deuten. Diese gemeinsame Gerade, auf der die drei Fußpunkte $P_{a},P_{b},P_{c}$ in diesen Fall liegen, ist die Simson-Gerade. Liegt der Punkt $P$ auf dem Mittelpunkt des Inkreises, so ist der Fußpunktkreis mit dem Inkreis identisch. Liegt er auf dem Höhenschnittpunkt, so entspricht er dem Feuerbachkreis.^[3]

Wenn der Punkt $P$ nicht auf dem Umkreis des Dreiecks $ABC$ liegt, dann besitzt der zu ihm isogonal konjugierte Punkt $Q$ denselben Fußpunktkreis. Die sechs Fußpunkte $P_{a},P_{b},P_{c}$ und $Q_{a},Q_{b},Q_{c}$ liegen damit auf einem gemeinsamen Kreis, dessen Mittelpunkt stimmt mit dem Mittelpunkt der Strecke $PQ$ überein.^[1]

Der Satz von Griffiths besagt, dass alle Punkte $P$ , die auf einer gemeinsamen Geraden durch den Mittelpunkt $O$ des Umkreises von Dreieck $ABC$ liegen, Fußpunktkreise besitzen, die sich in einem gemeinsamen Punkt schneiden.^[4]

Zu vier Punkten in der Ebene, von denen keine drei auf einer gemeinsamen Geraden liegen, kann man vier zugehörige Fußpunktkreise bestimmen, indem man mit je drei Punkten ein Dreieck $ABC$ bildet und der vierte Punkt die Rolle des Punktes $P$ einnimmt. Diese vier Fußpunktkreise besitzen einen gemeinsamen Schnittpunkt.^[3]

Weblinks

Commons: Pedal circle – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Pedal Circle of Isogonal Conjugates - interactive illustration in GeoGebra
pedal triangle and pedal circle - interactive illustration

Einzelnachweise

↑ ^a ^b Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA, 1995, pp. 67–75
↑ ^a ^b Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007 (reprint), ISBN 978-0-486-46237-0, pp. 135–144, 155, 240
↑ ^a ^b Eric W. Weisstein: Pedal Circle. In: MathWorld (englisch).
↑ Eric W. Weisstein: Griffiths' Theorem. In: MathWorld (englisch).