V lineární algebře se spektrálním rozkladem čtvercové komplexní matice rozumí její kanonický tvar zapsaný pomocí matic sestavených z jejích vlastních čísel a vlastních vektorů.
Matice, které mají spektrální rozklad, se nazývají normální.
Spektrální rozklad patří mezi základní charakteristiky matice a využívá se v oblastech, jako jsou kvantová mechanika, zpracování signálu a numerická analýza.
Definice
Vlastní rozklad[1] čtvercové matice
nad libovolným tělesem
je její zápis jako součin tří matic
, kde
je regulární matice, jejíž sloupce tvoří vlastní vektory
, diagonální matice
s vlastními čísly matice
na diagonále a matice inverzní k matici
. Matice mající vlastní rozklad se nazývá diagonalizovatelná, protože je dle této definice podobná diagonální matici.
Spektrální rozklad je vlastním rozkladem komplexní matice, kde je matice
sestavena z ortonormální báze vlastních vektorů, čili je unitární.
V české literatuře bývá termín spektrální rozklad někdy používán i pro vlastní rozklad.
Název je odvozen z termínu pro množinu vlastních čísel tzv. spektra matice.
Ukázky
Rozklad reálné matice:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&2\\-1&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca0a9242e2d86ebafa280c27cc6d294ab2f7e641)
je vlastním rozkladem. Vlastní vektory nejsou na sebe navzájem kolmé, proto uvedená matice nemá spektrální rozklad a není normální.
Oproti tomu rozklad reálné matice:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c6cfd0e8c560a57d767e88a5027afb44b7b172d)
je spektrálním rozkladem, protože vlastní vektory tvoří ortonormální bázi. (Zde dokonce platí
.)
Ukázkou spektrálního rozkladu komplexní (zde hermitovské) matice, je součin:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}2&{\frac {2(1+i)}{3}}&{\frac {-1-i}{3}}\\[1mm]{\frac {2(1-i)}{3}}&{\frac {2}{3}}&{\frac {2i}{3}}\\[1mm]{\frac {-1+i}{3}}&-{\frac {2i}{3}}&{\frac {7}{3}}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {2}{3}}&{\frac {-3+i}{3{\sqrt {3}}}}&{\frac {-1-2i}{3{\sqrt {3}}}}\\[2mm]{\frac {1}{3}}&{\frac {2i}{3{\sqrt {3}}}}&{\frac {4+2i}{3{\sqrt {3}}}}\\[2mm]{\frac {2}{3}}&{\frac {3-2i}{3{\sqrt {3}}}}&{\frac {-1+i}{3{\sqrt {3}}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {2}{3}}&{\frac {-3+i}{3{\sqrt {3}}}}&{\frac {-1-2i}{3{\sqrt {3}}}}\\[2mm]{\frac {1}{3}}&{\frac {2i}{3{\sqrt {3}}}}&{\frac {4+2i}{3{\sqrt {3}}}}\\[2mm]{\frac {2}{3}}&{\frac {3-2i}{3{\sqrt {3}}}}&{\frac {-1+i}{3{\sqrt {3}}}}\end{pmatrix}}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30b66c348a01b594b0d8370963b22f0f01c38cb9)
Matice
není diagonalizovatelná, a proto nemá žádný vlastní ani spektrální rozklad.
Existence
Vlastní rozklad
Vlastní čísla
a vlastní vektory
čtvercové matice
řádu
jsou řešením lineární rovnice
. Pokud má tato soustava
lineárně nezávislých řešení
odpovídajících
, lze z vlastních vektorů
sestavit regulární matici
a vlastní čísla umístit na diagonálu diagonální matice
. Pro takto sestavené matice pak platí
, protože
-tý sloupec v uvedeném součinu odpovídá rovnici
.
Matice
je regulární, a proto rovnost
lze upravit na ekvivalentní vztah
vynásobením
zprava.
Rovnici
lze převedením obou členů na levou stranu a vytknutím
upravit na ekvivalentní rovnici
, kde
značí jednotkovou matici. Tato rovnice odpovídá homogenní soustavě lineárních rovnic. Homogenní soustavy mají netriviální řešení právě když matice soustavy je singulární, čili když má nulový determinant. Determinant matice
je polynom stupně
v proměnné
a nazývá se charakteristický polynom matice
a značí se
. Z uvedeného vyplývá, že
je vlastním číslem matice
, právě když je kořenem jejího charakteristického polynomu, čili když dosazení
za
dává
.
Matici
lze sestavit z vlastních čísel, právě když lze charakteristický polynom rozložit na součin lineárních polynomů
. Násobnost
coby kořene charakteristického polynomu se nazývá algebraická násobnost vlastního čísla a odpovídá počtu výskytů
na diagonále matice
.
Sloupce matice
odpovídající
jsou bází prostoru řešení homogenní soustavy
. Dimenze prostoru řešení se nazývá geometrická násobnost vlastního čísla
. Lze ukázat, že geometrická násobnost vlastního čísla nikdy nepřesáhne jeho algebraickou násobnost. Aby bylo možné sestavit vlastní rozklad s regulární maticí
je proto nutné a postačující, aby se geometrická a algebraická násobnost každého vlastního čísla shodovaly.
Spektrální rozklad
Existence spektrálního rozkladu pro normální matice, t.j. matice které v součinu komutují se svou hermitovsky sdruženou maticí, čili splňují
, vyplývá přímo ze Schurovy věty.
Užití
Inverzní matice
Pokud lze matici
rozložit
a přitom má všechna vlastní čísla nenulová, pak
je regulární a matice k ní inverzní je dána vztahem
.
Inverzní matice k diagonální
je dána přímo vztahem:
.
Vlastní rozklad matice z naměřených dat nemusí bez dalších úprav poskytovat použitelnou inverzní matici. Zejména relativně malá vlastní čísla podstatně ovlivňují hodnoty v inverzní matici. Ty, která jsou blízko nuly nebo jsou ovlivněna "šumem" měřicího systému, mohou mít nepřiměřený vliv a mohly by zneplatnit využití spočtené inverzní matice.[2]
Funkční kalkulus
Vlastní rozklad umožňuje snadný výpočet mocninných řad matic. Pro mocninnou řadu:
![{\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db07248c72dde4e7cb39319100a9b0e8303001c0)
je hodnota
matice s vlastním rozkladem
dána výrazem:
.
Matice
je diagonální, a tak lze funkce matice
snadno spočítat pomocí vztahu:
. Prvky mimo diagonálu matice
jsou nulové, a tudíž
je také diagonální matice. Výpočet
podstatně redukuje na výpočet hodnoty mocninné řady na každém z vlastních čísel a dva maticové součiny.
Podobná technika funguje obecněji pro holomorfní funkční kalkulus za použití již zmíněného vztahu
. I v tomto případě platí
.
Ukázky
Pro funkce
,
a
, resp., dostáváme vyjádření:
,
a
, přičemž
zde značí maticovou exponenciálu.
Numerické záležitosti
Výpočet vlastních čísel
V praxi se vlastní čísla velkých matic nepočítají pomocí charakteristického polynomu. Výpočet polynomu je sám o sobě nákladný a podle Abelovy-Ruffiniho věty nelze pro obecné polynomy stupně alespoň 5 odvodit vzorce pro vyjádření kořenů. Proto se pro určení vlastních čísel a vlastních vektorů používají iterativní numerické metody.
I když lze např. Newtonovou metodou aproximovat kořeny polynomů, používají se pro vlastní čísla jiné postupy než výpočet charakteristického polynomu a následná aproximace jeho kořenů. Jedním z důvodů je, že i malé zaokrouhlovací chyby v koeficientech charakteristického polynomu mohou vést k velkým chybám ve vlastních číslech a vlastních vektorech: kořeny jsou špatně podmíněny koeficienty polynomu.
Jednoduchým a dostatečně přesným iteračním postupem je mocninná metoda: Nejprve je vybrán náhodný vektor
a poté se spočítá posloupnost jednotkových vektorů
Tato posloupnost téměř vždy konverguje k vlastnímu vektoru odpovídajícímu největšímu vlastnímu číslu za předpokladu, že
má nenulovou složku souřadnic u tohoto vlastního vektoru vzhledem k bázi z vlastních vektorů (a také za předpokladu, že jen jedno vlastní číslo má největší absolutní hodnotu).
Tento jednoduchý algoritmus je užitečný v některých praktických aplikacích; například Google jej používá k výpočtu hodnocení stránek dokumentů ve svém vyhledávači. Z mocninné metody vycházejí i sofistikovanější postupy, např. QR algoritmus.
Odkazy
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Eigendecomposition of a matrix na anglické Wikipedii.
- ↑ VLACH, Oldřich; DOSTÁL, Zdeněk. Aplikovaná Algebra (cvičení) [online]. [cit. 2024-07-14]. Dostupné online.
- ↑ HAYDEN, Andreas F.; TWEDE, David R. Observations on the relationship between eigenvalues, instrument noise, and detection performance. In: Seattle, WA: [s.n.], 2002-11-01. Dostupné online. DOI 10.1117/12.453777. S. 355.
Literatura
- BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1.
- HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5.
- OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.
Související články