Rieszovo lemma

Rieszovo lemma, známé též jako lemma o skorokolmici (kvazikolmici), hovoří o tom, že i v normovaném lineárním prostoru bez skalárního součinu (kde schází pojem kolmosti) existují k danému podprostoru jakési „skorokolmé“ vektory, které v jistém smyslu aproximují kolmý vektor s libovolnou přesností.

Nechť X je normovaný lineární prostor a Y je uzavřený vlastní podprostor v X. Pro každé r < 1 potom existuje x ∈ X takové, že ||x|| = 1 a dist(x, Y) > r.

Důkaz. Zvolme x₀ ∈ X\Y, potom d := dist(x₀, Y) > 0. Dále zvolme y₀ ∈ Y takové, že ||x₀ – y₀|| ≤ d/r. Definujme x := (x₀ – y₀)/||x₀ – y₀||, tento vektor splňuje požadovanou podmínku, neboť pro libovolné y ∈ Y

${\displaystyle \|x-y\|={\frac {1}{\|x_{0}-y_{0}\|}}{\big \|}x_{0}-y_{0}-y\|x_{0}-y_{0}\|{\big \|}\geq {\frac {\operatorname {dist} (x_{0},Y)}{\|x_{0}-y_{0}\|}}\geq d\cdot {\frac {r}{d}}=r.}$

Lemma lze též formulovat obráceně v trochu obecnějším tvaru: Jestliže existuje r < 1 takové, že pro všechna x ∈ X, ||x|| = 1 je dist(x, Y) < r, pak Y je hustý v X.

V konečněrozměrném případě dokonce existuje obdoba kolmého vektoru, tj. existuje jednotkový vektor x takový, že dist(x, Y) = 1. Stačí vzít posloupnost jednotkových vektorů {x_n} ⊂ X takovou, že dist(x_n, Y) > 1 – 1/n. Má-li X konečnou dimenzi, pak je jednotková sféra S ⊂ X kompaktní a existuje vybraná podposloupnost, která konverguje k nějakému x ∈ S, pro které platí dist(x, Y) ≥ 1, zároveň však dist(x, Y) ≤ 1.

Naopak v prostoru nekonečné dimenze takový vektor existovat nemusí. Jako příklad poslouží

${\displaystyle X:=\{f\in C([0,1]);f(0)=0\},\quad Y:=\{f\in X;\int _{0}^{1}f=0\},}$

podprostor Y je vlastní a uzavřený v X. Pro každou funkci f ∈ X, ||f|| = 1 je možné zkonstruovat funkci g ∈ Y takovou, že ||f – g|| < 1 a tedy dist(f, Y) < 1.

Opakovanou aplikací Rieszova lemmatu se dá ukázat, že v normovaném lineárním prostoru nekonečné dimenze existuje pro dané r < 1 posloupnost jednotkových vektorů {x_n} taková, že ||x_n – x_m|| > r pro každá dvě různá přirozená čísla m a n. Tato vlastnost nekonečněrozměrných normovaných lineárních prostorů má důležitý význam. Ze zmíněné posloupnosti není možné vybrat konvergentní podposloupnost, platí tedy následující tvrzení:

V normovaném lineárním prostoru X je uzavřená jednotková koule kompaktní právě tehdy, když X má konečnou dimenzi.

V normovaném lineárním prostoru nekonečné dimenze mají kompaktní množiny prázdný vnitřek.

• Kompaktní množina