Tento článek potřebuje úpravy.
Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.
QR rozklad dané matice je způsob, jak zapsat jistou matici A s lineárně nezávislými sloupci jako součin dvou matic, z nichž sloupce matice Q tvoří ortonormální posloupnost (Q není nutně ortogonální) a matice R je v horním trojúhelníkovém tvaru. (Pozor, nezaměňovat QR rozklad s QR algoritmem, který slouží k výpočtu vlastních čísel čtvercové matice.)
Definice
Nechť
, QR rozkladem nazýváme vztah
,
kde
má vzájemně ortonormální sloupce (tj.
, ale ne nutně
) a
je v horním trojúhelníkovém tvaru (tj.
pro všechna
).
Lineárně nezávislé sloupce A
Pokud má matice
lineárně nezávislé sloupce, pak
,
kde
je unitární (v reálném případě ortogonální) matice,
a
je horní trojúhelníková regulární matice.
Označme
, sloupce matic
, platí
,
přičemž
značí lineární obal. Tedy
a
obsahuje ortonormální bázi prostoru generovaného sloupci matice
.
Pokud navíc volíme diagonální prvky matice
kladné, je QR pak rozklad
![{\displaystyle A=Q_{1}R_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c84310433215d0b435517cd105c50ca8a6634db)
jednoznačný. Je-li
, tedy je-li
regulární, pak
a nulový blok v matici
neexistují,
, a tedy i QR rozklad
lze volit jednoznačný.
Lineárně závislé sloupce A
Pokud má rozkládaná matice lineárně závislé sloupce, QR rozklad zpravidla uvažujeme tak, aby i nadále platilo
. Nechť
, pak
,
kde oproti předchozímu případu
a
je v horním schodovitém tvaru (pokud je
pak blok
a nulový blok v matici
neexistují).
Vždy existuje permutace sloupců matice
realizovaná permutační maticí
tak, že
,
kde
je horní trojúhelníková regulární matice, kterou lze volit tak, že její diagonální prvky jsou kladné.
Výpočet QR rozkladu
QR rozklad lze provést pomocí klasického nebo modifikovaného Gramova-Schmidtova algoritmu (případně s iteračním zpřesněním), nebo pomocí Householderových nebo Givensových transformačních matic. Při reálném výpočtu (tj. v aritmetice s konečnou přesností) se všechny zmíněné postupy výrazně liší v přesnosti a rychlosti výpočtu. Přesnost je klíčovým faktorem zejména v případě, že matice obsahuje lineárně závislé sloupce.
LQ rozklad
LQ rozkladem matice
nazveme transponovaný a komplexně sdružený (tzv. hermitovsky sdružený) QR rozklad matice
. Tedy, je-li
,
kde
je v dolním trojúhelníkovém tvaru, představuje LQ rozklad matice
.
Literatura
- DUINTJER TEBBENS, Erik Jurjen; HNĚTYNKOVÁ, Iveta; PLEŠINGER, Martin; STRAKOŠ, Zdeněk; TICHÝ, Petr. Analýza metod pro maticové výpočty: Základní metody. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2012. xvi+308 s. ISBN 978-80-7378-201-6.