Lagrangeova věta (teorie grup)

Lagrangeova věta je základní tvrzení z teorie grup, jehož důsledkem je, že řád každého prvku či podgrupy dělí řád grupy. To znamená, že například grupa řádu 15 může mít prvky řádu 1, 3, 5 a 15, avšak nikoliv třeba 7. Věta nese jméno význačného matematika, Josepha Louise Lagrange.

Pro grupu G a její podgrupu H platí:

${\displaystyle |G|=[G:H]\cdot |H|}$, kde |X| značí řád grupy X a [G:H] index grupy (počet levých cosetů H v G).

Nejprve ukážeme, že levé cosety ${\displaystyle gH=\{gh;\;h\in H\}}$ tvoří dohromady pro ${\displaystyle \forall g\in G}$ rozklad množiny G. Protože ${\displaystyle x\cdot e=x\in xH}$, nepochybně levé cosety obsahují všechny prvky G. Abychom ukázali, že neobsahují žádný prvek dvakrát, předpokládejme naopak ${\displaystyle xH\cap yH\neq \emptyset }$ pro nějaké ${\displaystyle x,y\in G}$. Jinými slovy pro nějaká ${\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}$ musí být ${\displaystyle x\cdot h_{1}=y\cdot h_{2}}$. Vynásobením na pravé straně prvkem ${\displaystyle h_{2}^{-1}}$ dostaneme ${\displaystyle x\cdot h_{1}\cdot h_{2}^{-1}=y}$. Pro jednoduchost provedeme substituci ${\displaystyle t=h_{1}\cdot h_{2}^{-1}}$. Vzhledem k definici podgrupy ${\displaystyle t\in H}$, a proto

${\displaystyle yH=\{yh;\;h\in H\}=\{(xt)h;\;h\in H\}=\{x(th);\;h\in H\}}$.

${\displaystyle yH\subset xH}$, neboť rovněž ${\displaystyle (th)\in H}$, a tudíž každý prvek v yH je obsažen v xH. Symetrickým postupem bychom získali ${\displaystyle xH\subset yH}$, a proto ${\displaystyle yH=xH}$. Z čehož plyne, že cosety gH tvoří rozklad G.

Abychom ukázali, že řád všech cosetů je totožný, najdeme bijektivní zobrazení f z H na xH pro ${\displaystyle \forall x\in G}$. Definujme f rovnicí

${\displaystyle f(h)=xh}$

• Důkaz injektivity: Předpokládejme ${\displaystyle f(h_{1})=f(h_{2})}$.

${\displaystyle x\cdot h_{1}=x\cdot h_{2}}$. Obě strany vynásobíme zleva prvkem ${\displaystyle x^{-1}}$

${\displaystyle x^{-1}\cdot x\cdot h_{1}=x^{-1}\cdot x\cdot h_{2}}$

${\displaystyle h_{1}=h_{2}}$

• Surjektivita je zřejmá z definice.

Nechť ${\displaystyle [G/H]}$ značí celkový počet všech (ať už levých nebo pravých) cosetů. Jak už jsme ukázali, cosety tvoří rozklad množiny G a každý z nich má tentýž řád |H|. Z těchto úvah plyne ${\displaystyle |G|=[G/H]\cdot |H|}$.

QED.

Řád každého prvku ${\displaystyle a\in G}$, neboli nejnižší přirozené číslo n, pro které ${\displaystyle a^{n}=e}$, je řád cyklické grupy generované prvkem a, a proto podle Lagrangeovy věty n dělí řád grupy G. Lagrangeova věta je silnějším tvrzením než Eulerova-Fermatova věta. Dá se ukázat, že množina zbytků modulo n, které jsou s n nesoudělná, tvoří s operací násobení grupu. Neutrální prvek je e = 1; existence inverzního prvku je důsledek Bézoutovy rovnosti pro gcd(g,n) = 1; asociativita vyplývá z vlastností modulární aritmetiky; uzavřenost grupy je zřejmá, neboť součin dvou čísel nesoudělných s n je rovněž nesoudělný, jakož i jeho zbytek po dělení modulo n. Řád takové grupy je právě ${\displaystyle \varphi (n)}$, což je Eulerova funkce. Podle Lagrangeovy věty má každý prvek g nějaký řád k, který je dělitelem čísla ${\displaystyle \varphi (n)}$. Odtud plyne

${\displaystyle \varphi (n)=kd}$, kde ${\displaystyle d\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle g^{\varphi (n)}=g^{kd}=({g^{k}})^{d}=e^{d}=e}$

což je ekvivalentí zápisu

${\displaystyle g^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}$.

Lagrangeova věta dává nutnou podmínku pro řády podgrup (i prvků) grupy, nezaručuje ale jejich existenci. Naopak Sylowovy věty na základě řádu grupy zaručují existenci jistých podgrup v dané grupě - dají se tedy brát jako protipól Lagrangovy věty.

• Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu – také známa jako Lagrangeova věta
• Sylowovy věty