Kruhová úseč

Kruhová úseč a výseč
Kruhová úseč. Značení:
M – střed kružnice,
r – poloměr kružnice,
AB – tětiva,
s – délka tětivy,
h – výška úseče,
α – středový úhel,
b – délka oblouku,
A – obsah úseče

Kruhová úseč je část kruhu vymezená tětivou a kruhovým obloukem vzniklá rozdělením kruhu sečnou.

Každá úseč je příslušná středovému úhlu α, který může být konvexní (0° < α < 180°), konkávní (180° < α < 360°), nebo přímý (α = 180°; polokruh).

Obvod úseče, poloměr, tětiva a výška

Použité značení:

  • r – poloměr kruhu
  • α – středový úhel, α = 2 arcsin ( s 2 r ) {\displaystyle \alpha =2\arcsin \!\left({\frac {s}{2r}}\right)} ; α = 4   a r c t g ( h ( s / 2 ) ) {\displaystyle \alpha =4\ \mathrm {arctg} {\biggl (}{\frac {h}{(s/2)}}{\biggr )}} ; α = 2   arcsin ⁡ ( 4 h s s 2 + 4 h 2 ) {\displaystyle \alpha =2\ \arcsin {\biggl (}{\frac {4hs}{s^{2}+4h^{2}}}{\biggr )}} ; α = 2 a r c t g ( ( s / 2 ) ( s 2 8 h − h 2 ) ) {\displaystyle \alpha =2\,\mathrm {arctg} {\Biggl (}{\frac {(s/2)}{{\bigl (}{\frac {s^{2}}{8h}}-{\frac {h}{2}}{\bigr )}}}{\Biggr )}} ; α = 2 a r c t g ( 4 s h s 2 − 4 h 2 ) {\displaystyle \alpha =2\,\mathrm {arctg} {\biggl (}{\frac {4sh}{s^{2}-4h^{2}}}{\biggr )}}
  • s – délka tětivy, s = 2 r sin ( α 2 ) {\displaystyle s=2r\sin \!\left({\frac {\alpha }{2}}\right)} ; s = 2 r 1 2 − 1 2 cos ⁡ ( α ) {\displaystyle s=2r{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\cos(\alpha )}}}
  • h – výška oblouku, h = r ( 1 − cos ⁡ ( α 2 ) ) {\displaystyle h=r{\biggl (}1-\cos {\Bigl (}{\frac {\alpha }{2}}{\Bigr )}{\biggr )}} ; h = r − 1 2 4 r 2 − s 2 {\displaystyle h=r-{\frac {1}{2}}{\sqrt {4r^{2}-s^{2}}}}  ; r 2 = ( s / 2 ) 2 + ( r − h ) 2 {\displaystyle r^{2}=(s/2)^{2}+(r-h)^{2}}
  • r = s 2 8 h + h / 2 {\displaystyle r={\frac {s^{2}}{8h}}+h/2} ; r = ( s / 2 ) 2 + h 2 2 h {\displaystyle r={\frac {(s/2)^{2}+h^{2}}{2h}}} ; r = ( s / 2 ) s i n ( 2 a r c t g ( h ( s / 2 ) ) ) {\displaystyle r={\frac {(s/2)}{\mathrm {sin} {\biggl (}2\,\mathrm {arctg} {\Bigl (}{\frac {h}{(s/2)}}{\Bigr )}{\biggr )}}}} ; r = s 2 s i n ( 2 a r c t g ( s 2 h ) ) {\displaystyle r={\frac {s}{2\,\mathrm {sin} {\Bigl (}2\,\mathrm {arctg} {\bigl (}{\frac {s}{2h}}{\bigr )}{\Bigr )}}}}
  • s = 2 h √ ( 2 r h − 1 ) {\displaystyle s=2h\surd ({\frac {2r}{h}}-1)} ; s = 2 √ ( 2 r h − h 2 ) {\displaystyle s=2\surd (2rh-h^{2})} ; s = 2 tan ⁡ ( α 2 ) ⋅ ( b a r c   α − h ) {\displaystyle s=2\,\tan {\biggl (}{\frac {\alpha }{2}}{\biggr )}\cdot {\biggl (}{\frac {b}{\mathrm {arc} \ \alpha }}-h{\biggr )}}
  • h = r − r √ ( 1 − ( s / 2 r ) 2 ) {\displaystyle h=r-r\surd (1-(s/2r)^{2})}
  • b – délka oblouku: b = a r c α ⋅ r {\displaystyle b=\mathrm {arc} \,\alpha \cdot r} (arc = úhel v radiánech); b = arcsin ⁡ ( s h + s 2 4 h ) ⋅ ( h + s 2 4 h ) {\displaystyle b=\arcsin {\Biggl (}{\frac {s}{h+{\tfrac {s^{2}}{4h}}}}{\Biggr )}\cdot {\biggl (}h+{\frac {s^{2}}{4h}}{\biggr )}} ; b = 2 r arcsin ⁡ ( s 2 r ) ⋅ π 180 {\displaystyle b=2r\arcsin {\biggl (}{\frac {s}{2r}}{\biggr )}\cdot {\frac {\pi }{180}}} (pro nastavení kalkulačky na stupně); b = 4 ( s 2 8 h + h / 2 ) ⋅ a r c t g ( h ( s / 2 ) ) ⋅ π 180 {\displaystyle b=4{\biggl (}{\frac {s^{2}}{8h}}+h/2{\biggr )}\cdot \,\mathrm {arctg} {\biggl (}{\frac {h}{(s/2)}}{\biggr )}\cdot {\frac {\pi }{180}}} (pro nastavení kalkulačky na stupně)

Obvod kruhové úseče:

  • o = b + s {\displaystyle o=b+s}
  • o = a r c α ⋅ r + s {\displaystyle o=\mathrm {arc} \,\alpha \cdot r+s} (arc = úhel v radiánech)
  • o = 2 r arcsin ( s 2 r ) + s {\displaystyle o=2r\arcsin \!\left({\frac {s}{2r}}\right)+s}
  • o = a r c α ⋅ r + 2 r sin ( α 2 ) {\displaystyle o=\mathrm {arc} \,\alpha \cdot r+2r\sin \!\left({\frac {\alpha }{2}}\right)} (arc = úhel v radiánech)
  • o = 2 r arcsin ( s 2 r ) ⋅ π 180 + 2 r sin ( α 2 ) {\displaystyle o=2r\arcsin \!\left({\frac {s}{2r}}\right)\cdot {\frac {\pi }{180}}+2r\sin \!\left({\frac {\alpha }{2}}\right)} (pro nastavení kalkulačky na stupně)

V případě, že je úhel α konvexní (0 < α < π), je obsah úseče roven obsahu výseče ( S V = a r c   α ⋅ r 2 2 {\displaystyle S_{V}={\tfrac {arc\ \alpha \cdot r^{2}}{2}}} ) bez obsahu rovnoramenného trojúhelníka ( S T = r 2 sin α 2 cos α 2 = r 2 2 sin ⁡ α {\displaystyle S_{T}=r^{2}\sin \!{\tfrac {\alpha }{2}}\cos \!{\tfrac {\alpha }{2}}={\tfrac {r^{2}}{2}}\sin \alpha } ; kladné číslo).

S = S V − S T = r 2 2 ( a r c   α − sin ⁡ α ) {\displaystyle S=S_{V}-S_{T}={\frac {r^{2}}{2}}\left(arc\ \alpha -\sin \alpha \right)}

V případě, že je úhel α {\displaystyle \alpha } konkávní (π < α < 2π), je obsah úseče roven obsahu výseče a obsahu rovnoramenného trojúhelníka. Pro konkávní středový úhel ovšem vyjde obsah trojúhelníka ( S T = r 2 2 sin ⁡ α {\displaystyle S_{T}={\tfrac {r^{2}}{2}}\sin \alpha } ) záporný, takže pro celkový obsah úseče opět platí předchozí vzorec:

S = r 2 2 ( α − sin ⁡ α ) {\displaystyle S={\frac {r^{2}}{2}}\left(\alpha -\sin \alpha \right)}

Známe-li výšku úseče h {\displaystyle h} a poloměr:

S = r 2 arccos ( r − h r ) − ( r − h ) 2 h r − h 2 {\displaystyle S=r^{2}\arccos \!\left({\frac {r-h}{r}}\right)-(r-h){\sqrt {2hr-h^{2}}}}

V praxi je úseč často určena šířkou s {\displaystyle s} (délka tětivy) a výškou h {\displaystyle h} . Pro obsah pak platí

S = 1 64 h 2 ( ( s 2 + 4 h 2 ) 2 arccos ⁡ s 2 − 4 h 2 s 2 + 4 h 2 − 4 s h ( s 2 − 4 h 2 ) ) {\displaystyle S={\frac {1}{64h^{2}}}\left(\left(s^{2}+4h^{2}\right)^{2}\arccos {\frac {s^{2}-4h^{2}}{s^{2}+4h^{2}}}-4sh\left(s^{2}-4h^{2}\right)\right)}

Literatura

  • Martina Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, ISBN 978-80-7358-083-4, str. 30

Související články

Externí odkazy

  • (anglicky) Kalkulátor všech parametrů úseče (z libovolných dvou hodnot)