La transformada de Hilbert (en vermell) d'una ona quadrada (en blau). En matemàtiques i en processament de senyals, la transformada de Hilbert H {\displaystyle {\mathcal {H}}} d'una funció real s ( t ) {\displaystyle s(t)\,} s'obté mitjançant la convolució dels senyals s ( t ) {\displaystyle s(t)} i 1 / ( π t ) {\displaystyle 1/(\pi t)} obtenint s ^ ( t ) {\displaystyle {\widehat {s}}(t)} . Per tant, la transformada de Hilbert s ^ ( t ) {\displaystyle {\widehat {s}}(t)} es pot interpretar com la sortida d'un sistema LTI amb entrada s ( t ) {\displaystyle s(t)} i resposta a l'impuls 1 / ( π t ) {\displaystyle 1/(\pi t)} .
Aplicacions És una eina matemàtica útil per descriure l'envolupant complexa d'un senyal modulat per una portadora real. La seva definició és:
s ^ ( t ) = H { s } ( t ) = ( h ∗ s ) ( t ) = 1 π ∫ − ∞ ∞ s ( τ ) t − τ d τ . {\displaystyle {\widehat {s}}(t)={\mathcal {H}}\{s\}(t)=(h*s)(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {s(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau .\,}
on h ( t ) = 1 / π t {\displaystyle \scriptstyle h(t)=1/\pi t} , considerant la integral com el valor principal (cosa que evita la singularitat τ = t {\displaystyle \tau =t\,} ).
Utilitzant s ^ ( t ) {\displaystyle {\widehat {s}}(t)} es pot construir el senyal analític de s(t) com a:
S a ( t ) = s ( t ) + i s ^ ( t ) {\displaystyle S_{a}(t)=s(t)+i{\widehat {s}}(t)} La transformada de Hilbert posseeix una resposta en freqüència donada per la transformada de Fourier:
H ( ω ) = F { h } ( ω ) = { + j si ω < 0 − j si ω > 0 {\displaystyle H(\omega )={\mathcal {F}}\{h\}(\omega )\,={\begin{cases}+j\,&{\mbox{si }}\omega <0\,\\-j\,&{\mbox{si }}\omega >0\,\end{cases}}} o, de manera equivalent:
H ( ω ) = F { h } ( ω ) = − j ⋅ sgn ( ω ) {\displaystyle H(\omega )={\mathcal {F}}\{h\}(\omega )\,=-j\cdot \operatorname {sgn}(\omega )} j {\displaystyle j\,} (o també i {\displaystyle i\,} ) és la unitat imaginària .
I, com que:
F { s ^ } ( ω ) = H ( ω ) ⋅ F { s } ( ω ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\{{\widehat {s}}\}(\omega )=H(\omega )\cdot {\mathcal {F}}\{s\}(\omega )} , la transformada de Hilbert produeix l'efecte de desplaçar la component de freqüències negatives de s ( t ) {\displaystyle s(t)\,} +90° i les part de freqüències positives -90°.
També, H 2 ( ω ) = − 1 {\displaystyle H^{2}(\omega )=-1\,} , per la qual cosa multiplicant l'equació anterior per − H ( ω ) {\displaystyle -H(\omega )\,} , s'obté que:
F { s } ( ω ) = − H ( ω ) ⋅ F { s ^ } ( ω ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\{s\}(\omega )=-H(\omega )\cdot {\mathcal {F}}\{{\widehat {s}}\}(\omega )} d'on s'obté la transformada inversa de Hilbert :
S ( t ) = − ( h ∗ s ^ ) ( t ) = − H { s ^ } ( t ) . {\displaystyle S(t)=-(h*{\widehat {s}})(t)=-{\mathcal {H}}\{{\widehat {s}}\}(t).\,}
Senyal s ( t ) {\displaystyle s(t)\,} Transformada de Hilbert H { s } ( t ) {\displaystyle {\mathcal {H}}\{s\}(t)} sin ( t ) {\displaystyle \sin(t)\,} − cos ( t ) {\displaystyle -\cos(t)\,} cos ( t ) {\displaystyle \cos(t)\,} sin ( t ) {\displaystyle \sin(t)\,} 1 t 2 + 1 {\displaystyle 1 \over t^{2}+1} t t 2 + 1 {\displaystyle t \over t^{2}+1} sin ( t ) t {\displaystyle \sin(t) \over t} Funció sinc 1 − cos ( t ) t {\displaystyle 1-\cos(t) \over t} ⊓ ( t ) {\displaystyle \sqcap (t)} Funció rectangle 1 π ln | t + 1 2 t − 1 2 | {\displaystyle {1 \over \pi }\ln \left|{t+{1 \over 2} \over t-{1 \over 2}}\right|} Δ ( t ) {\displaystyle \Delta (t)} Funció delta de Dirac 1 π t {\displaystyle {1 \over \pi t}}