Teorema de Jordan-Hölder

En matemàtiques i més precisament en teoria de grups el teorema de Jordan-Hölder estableix les propietats que compleixen les successions estrictament creixents màximes de subgrups d'un grup finit. Porta aquest nom en honor dels matemàtics Camille Jordan i Otto Hölder.

Definició

Sigui G un grup finit. Es diu successió de Jordan-Hölder una successió G0, G1, ..., Gn de grups tal que:

  • G0 és el grup nul i Gn és G
  • Gi està estrictament inclòs en Gi+1
  • Gi és un subgrup normal de Gi+1

Una successió d'aquest tipus es diu que és màxima quan no es pot introduir cap grup entremig d'altres dos.[1]

Exemples

  • Per a tot grup finit G (excepte el grup nul), la successió {e}, G és una successió de Jordan-Hölder. Només és màxima si G és simple.
  • { e } ⊂ A 3 ⊂ S 3 {\displaystyle \left\{e\right\}\subset A_{3}\subset S_{3}} és una successió de Jordan-Hölder màxima.
  • Un grup és resoluble quan admet una successió de Jordan-Hölder on tots els quocients (Gi+1/Gi) són commutatius i, si la successió és màxima, els grups quocients són cíclics i de primer ordre. És aquesta última afirmació la que fa servir Galois per demostrar que resoluble és equivalent a resoluble per radicals.

El teorema de Jordan-Hölder

Sia G un grup finit, llavors :

  • G admet pel capbaix una successió de Jordan-Hölder.
  • Totes les successions màximes tenen la mateixa longitud.
  • Els quocients són els mateixos però poden presentar-se en un ordre diferent.

Exemples

  • Pel grup de nombres mòdul 6, es tenen les dues successions màximes següents :
    • { 0 } ⊂ { 0 , 2 , 4 } ⊂ Z / 6 Z {\displaystyle \left\{0\right\}\subset \left\{0,2,4\right\}\subset \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} }
    • { 0 } ⊂ { 0 , 3 } ⊂ Z / 6 Z {\displaystyle \left\{0\right\}\subset \left\{0,3\right\}\subset \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} }

Els quocients de les quals són Z/3Z i després Z/2Z per la primera i Z/2Z i després Z/3Z per la segona.

Generalització

En el marc de les categories (o estructures), es pot generalitzar el concepte de les successions de Jordan-Hölder reemplaçant les inclusions pels monomorfismes (o funcions injectives) que permeten tenir un quocient. Però no es té per força el teorema de Jordan-Hölder.

  • Així en el marc dels espais vectorials una bandera és una successió de Jordan-Hölder màxima, tal que els quocients són cada vegada un espai vectorial de dimensió 1. El teorema és vàlid i la mida d'una successió màxima és la dimensió de l'espai vectorial.

Referències

  1. ↑ Sebastián Xambó Descamps; Félix Delgado; Concha Fuertes Introducción al álgebra. Editorial Complutense, 1993, p. 115–. ISBN 978-84-7491-428-3. 

Enllaços externs

  • (anglès) Podria Jordan haver demostrat el teorema de Jordan-Hölder?[Enllaç no actiu] pet Dirk Schlimm