Funció característica (teoria de la probabilitat)

En teoria de la probabilitat, la funció característica d'una variable aleatòria real és una eina matemàtica que proporciona informació completa sobre la distribució de probabilitat de la variable aleatòria i sovint en facilita l'estudi. A més, amb les funcions característiques es disposa, gràcies al teorema de continuïtat de Lévy, d'un mètode senzill i potent per estudiar la convergència en distribució d'una successió de variables aleatòries.

Donada una variable aleatòria real ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$ definida sobre un espai de probabilitat ${\displaystyle (\Omega ,\,{\mathcal {B}},\,\mathbb {P} )}$, la seva funció característica és la funció ${\displaystyle \varphi _{X}:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ (és a dir de valors complexos) definida, per a tot real t, per la relació següent (on ${\displaystyle i\in \mathbb {C} }$, ${\displaystyle i^{2}=-1}$ i ${\displaystyle \operatorname {E} (\cdot )}$ denota l'operador esperança):

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left(\mathrm {e} ^{i\,t\,X}\right)=\operatorname {E} \left(\cos \,(t\,X)\right)+i\,\operatorname {E} \left(\sin \,(t\,X)\right)}$

Per definició de ${\displaystyle \varphi _{X}}$ :

${\displaystyle \forall \,t\in \mathbb {R} ,\,\varphi _{X}(t)=\int _{\Omega }\mathrm {e} ^{i\,t\,X}\,d\mathbb {P} =\int _{\Omega }\cos(t\,X)\,d\mathbb {P} \,+\,i\,\int _{\Omega }\sin(t\,X)\,d\mathbb {P} \;\;\,\qquad \qquad \qquad \quad (1)}$

Denotant per ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}}$ la distribució de probabilitat de la variable aleatòria X:

${\displaystyle \forall \,t\in \mathbb {R} ,\,\varphi _{X}(t)=\int _{\mathbb {R} }\mathrm {e} ^{i\,t\,x}\,d\mathbb {P} _{X}(x)=\int _{\mathbb {R} }\cos(t\,X)\,d\mathbb {P} _{X}(x)\,+\,i\,\int _{\mathbb {R} }\sin(t\,X)\,d\mathbb {P} _{X}(x)\qquad (2)}$

(segons el teorema de la mesura imatge)

Remarques:

• es tracta aquí d'integrals de Lebesgue;

• la definició (1) té sentit perquè per a tot real t, la variable aleatòria complexa

${\displaystyle \mathrm {e} ^{i\,t\,X}=\cos \,(t\,X)+i\,\sin \,(t\,X)}$

és fitada (té mòdul 1) i per tant és integrable respecte a la mesura de probabilitat ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ;

• l'equació (2) significa que la funció característica d'una variable aleatòria real X és la transformada de Fourier de la seva distribució de probabilitat ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}}$, mesura de probabilitat sobre l'espai mesurable (o probabilitzable) ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\,{\mathcal {B}}_{\mathbb {R} })}$, on ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {R} }}$ és la sigma-àlgebra de Borel de ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

• Quan X és discreta, amb valors ${\displaystyle x_{k}}$ tals que per a tot k, ${\displaystyle \mathbb {P} (X=x_{k})=p_{k}}$ aleshores:

${\displaystyle \forall \,t\in \mathbb {R} ,\,\varphi _{X}(t)=\sum _{k}\mathrm {e} ^{i\,t\,x_{k}}\,p_{k}}$

(suma finita o sèrie absolutament convergent)

• Quan X és absolutament contínua, amb funció de densitat de probabilitat ${\displaystyle f_{X}}$ aleshores:

${\displaystyle \forall \,t\in \mathbb {R} ,\,\varphi _{X}(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{i\,t\,x}\,f_{X}(x)\,dx}$

(integral de Lebesgue; en els casos usuals coincideix amb la integral de Riemann)

La funció característica d'una variable aleatòria real X:

• compleix la relació:

${\displaystyle \varphi _{X}(0)=1}$

• és fitada:

${\displaystyle \forall \,t\in \mathbb {R} ,\,|\varphi _{X}(t)|\leq 1}$

• és uniformement contínua en ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• és hermítica:

${\displaystyle \forall \,t\in \mathbb {R} ,\,\varphi _{X}(-t)={\overline {\varphi _{X}(t)}}}$ (on ${\displaystyle {\overline {z}}}$ és el conjugat del nombre complex z)

• compleix la identitat:

${\displaystyle \forall \,a\in \mathbb {R} ,\,\forall \,b\in \mathbb {R} ,\,\forall \,t\in \mathbb {R} ,\,\varphi _{a\,X+b\,}(t)=\mathrm {e} ^{i\,b\,t}\,\varphi _{X}(a\,t)}$

i en particular : ${\displaystyle \forall \,t\in \mathbb {R} ,\,\varphi _{-X\,}(t)=\varphi _{X}(-t)={\overline {\varphi _{X}(t)}}}$;

per tant si ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle -X}$ tenen la mateixa distribució (dita simètrica), la funció ${\displaystyle \varphi _{X}}$ és parella amb valors reals

(la tercera propietat es dedueix del teorema de convergència dominada; les altres són immediates)

Si la variable aleatòria X segueix la distribució degenerada de valor ${\displaystyle \mu }$ (és a dir: ${\displaystyle \mathbb {P} (X=\mu )=1}$; X és constant quasi segurament) aleshores:

${\displaystyle \forall \,t\in \mathbb {R} ,\,\varphi _{X}(t)=\mathrm {e} ^{i\,t\,\mu }}$

Si la variable aleatòria X segueix la distribució binomial ${\displaystyle {\mathcal {B}}(n,\,p)}$ (on ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,\,p\in [0,\,1]}$) aleshores:

${\displaystyle \forall \,t\in \mathbb {R} ,\,\varphi _{X}(t)=\sum _{k=0}^{n}\mathrm {e} ^{i\,t\,k}\,{n \choose k}\,p^{k}\,(1-p)^{n-k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\,\left(p\,\mathrm {e} ^{i\,t}\right)^{k}\,(1-p)^{n-k}}$

d'on es dedueix (fórmula del binomi de Newton):

${\displaystyle \forall \,t\in \mathbb {R} ,\,\varphi _{X}(t)=\left(p\,\mathrm {e} ^{i\,t}+1-p\right)^{n}}$

En particular, si la variable aleatòria X segueix la distribució de Bernoulli ${\displaystyle {\mathcal {B}}(1,\,p)}$ (on ${\displaystyle \ p\in [0,\,1]}$) aleshores:

${\displaystyle \forall \,t\in \mathbb {R} ,\,\varphi _{X}(t)=p\,\mathrm {e} ^{i\,t}+1-p}$

Si la variable aleatòria X segueix la distribució geomètrica ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p)}$ (on ${\displaystyle p\in \,]0,\,1[}$) aleshores:

${\displaystyle \forall \,t\in \mathbb {R} ,\,\varphi _{X}(t)=\sum _{k=1}^{+\infty }\mathrm {e} ^{i\,t\,k}\,p\,(1-p)^{k-1}=p\,\mathrm {e} ^{i\,t}\,\sum _{k=1}^{+\infty }\left[(1-p)\,\mathrm {e} ^{i\,t}\right]^{k-1}={\frac {p\,\mathrm {e} ^{i\,t}}{1-(1-p)\,\mathrm {e} ^{i\,t}}}}$

Si la variable aleatòria X segueix la distribució de Poisson ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\lambda )}$ (on ${\displaystyle \lambda >0}$) aleshores:

${\displaystyle \forall \,t\in \mathbb {R} ,\,\varphi _{X}(t)=\sum _{k=0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{i\,t\,k}\,\mathrm {e} ^{-\lambda }\,{\frac {\lambda ^{k}}{k\,!}}=\mathrm {e} ^{-\lambda }\,\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {\left(\lambda \,\mathrm {e} ^{i\,t}\right)^{k}}{k\,!}}=\mathrm {e} ^{-\lambda }\,\mathrm {e} ^{\lambda \,\mathrm {e} ^{i\,t}}=\mathrm {e} ^{\lambda \,\left(\mathrm {e} ^{i\,t}-1\right)}}$

Si la variable aleatòria X segueix la distribució uniforme contínua ${\displaystyle {\mathcal {U}}([a,\,b])}$ (on ${\displaystyle \ a\in \mathbb {R} ,\,b\in \mathbb {R} }$ i a < b) aleshores:

${\displaystyle \forall \,t\in \mathbb {R} ,\,\varphi _{X}(t)=\int _{a}^{b}\mathrm {e} ^{i\,t\,x}\,{\frac {1}{b-a}}\,dx={\frac {\mathrm {e} ^{i\,t\,b}-\mathrm {e} ^{i\,t\,a}}{i\,(b-a)\,t}}}$ si ${\displaystyle t\neq 0}$, i ${\displaystyle \varphi _{X}(0)=1}$.

En particular, si X segueix la distribució ${\displaystyle {\mathcal {U}}([-\alpha ,\,+\alpha ])}$ (on ${\displaystyle \alpha >0}$) aleshores:

${\displaystyle \forall \,t\in \mathbb {R} ,\,\varphi _{X}(t)={\frac {\sin(\alpha \,t)}{\alpha \,t}}}$ si ${\displaystyle t\neq 0}$, i ${\displaystyle \varphi _{X}(0)=1}$.

Si la variable aleatòria X segueix la distribució exponencial ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\lambda )}$ (on ${\displaystyle \lambda >0}$) aleshores:

${\displaystyle \forall \,t\in \mathbb {R} ,\,\varphi _{X}(t)=\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{i\,t\,x}\,\lambda \,\mathrm {e} ^{-\lambda \,x}\,dx=\lambda \,\int _{0}^{+\infty }\mathrm {e} ^{-(\lambda -i\,t)\,x}\,dx={\frac {\lambda }{\lambda -i\,t}}}$

Si la variable aleatòria X segueix la distribució normal estàndard ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,\,1)}$ aleshores:

${\displaystyle \forall \,t\in \mathbb {R} ,\,\varphi _{X}(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{i\,t\,x}\,{\frac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx=\mathrm {e} ^{-{\frac {t^{2}}{2}}}}$

Prova

L'integrand és derivable respecte a t, i la funció ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,x\mapsto x\,\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,}$ és integrable sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Així, doncs, es pot derivar sota el signe integral; la funció ${\displaystyle \ \varphi _{X}}$ és derivable i compleix la relació següent:

${\displaystyle \forall \,t\in \mathbb {R} ,\,\varphi '_{X}(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathrm {e} ^{i\,t\,x}\,{\frac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\right)dx=\int _{-\infty }^{+\infty }i\,x\,\mathrm {e} ^{i\,t\,x}\,{\frac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx}$;

en integrar per parts:

${\displaystyle \forall \,t\in \mathbb {R} ,\,\varphi '_{X}(t)=-\int _{-\infty }^{+\infty }t\,\mathrm {e} ^{i\,t\,x}\,{\frac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\,\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx=-t\,\varphi _{X}(t)}$.

Per tant, en resoldre aquesta equació diferencial:

${\displaystyle \exists \,C\in \mathbb {C} ,\,\forall \,t\in \mathbb {R} ,\,\varphi _{X}(t)=C\,\mathrm {e} ^{-{\frac {t^{2}}{2}}}}$

Per fi : ${\displaystyle C=\varphi _{X}(0)=1}$, Q.E.D.

(també es pot utilitzar el teorema de Cauchy per a funcions holomorfes)

Si la variable X segueix la distribució de Laplace centrada en 0, ${\displaystyle {\text{Laplace}}(0,b)}$, amb ${\displaystyle b>0}$ aleshores:

${\displaystyle \forall \,t\in \mathbb {R} ,\,\varphi _{X}(t)={\frac {1}{2b}}\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{i\,t\,x}\mathrm {e} ^{-{\frac {\vert x\vert }{b}}}\,dx={\frac {1}{1+b^{2}t^{2}}}.}$

Prova

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}e^{-{\frac {\vert x\vert }{b}}}\,dx&={\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\cos(tx)\,e^{-{\frac {\vert x\vert }{b}}}\,dx+{\frac {i}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\sin(tx)\,e^{-{\frac {\vert x\vert }{b}}}\,dx=\int _{0}^{\infty }\cos(tx)\,e^{-{\frac {x}{b}}}\,dx\\&{\overset {(i)}{=}}\quad {\bigg [}{\frac {b^{2}t\sin(tx)-b\cos(tx)}{1+b^{2}t^{2}}}\,e^{-{\frac {x}{b}}}{\bigg ]}_{x=0}^{\infty }={\frac {1}{1+b^{2}t^{2}}},\end{aligned}}}$$ on a la igualtat (i) hem integrat per parts dues vegades.

Si la variable aleatòria X segueix la distribució de Cauchy simètrica ${\displaystyle {\mathcal {C}}(0,\,\gamma )}$ (on ${\displaystyle \gamma >0}$) aleshores:

${\displaystyle \forall \,t\in \mathbb {R} ,\,\varphi _{X}(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{i\,t\,x}\,{\frac {1}{\pi }}\,{\frac {\gamma }{x^{2}+\gamma ^{2}}}\,dx=\mathrm {e} ^{-\gamma \,|\,t\,|}}$

Per demostrar-ho, es pot utilitzar el teorema dels residus (anàlisi complexa).

Prova

La funció ${\displaystyle g:z\mapsto {\frac {\mathrm {e} ^{i\,t\,z}}{z^{2}+\gamma ^{2}}}}$ (d'una variable complexa) és holomorfa en l'obert ${\displaystyle U=\mathbb {C} \setminus \{\gamma \,i,\,-\gamma \,i\}}$ (els dos punts singulars ${\displaystyle \gamma \,i,\,-\gamma \,i}$ són pols simples de g).

Per a tot real R tal que R > 0, sigui el semidisc compacte

${\displaystyle \Delta _{R}=\{z\in \mathbb {C} \,/\,|\,z\,|\leq R,\,\mathrm {Im} (z)\geq 0\}}$

la vora del qual és ${\displaystyle [-R,\,+R]\cup \Gamma _{R}}$, on ${\displaystyle \Gamma _{R}}$ és el semicercle ${\displaystyle \Gamma _{R}=\{z\in \mathbb {C} \,/\,|\,z\,|=R,\,\mathrm {Im} (z)\geq 0\}}$.

Suposant ${\displaystyle R>\gamma }$, el pol ${\displaystyle \gamma \,i}$ és l'únic punt singular de la funció g en ${\displaystyle \Delta _{R}}$; per tant, segons el teorema dels residus, si ${\displaystyle R>\gamma }$ :

${\displaystyle \int _{-R}^{+R}{\frac {\mathrm {e} ^{i\,t\,x}}{x^{2}+\gamma ^{2}}}\,dx\,+\,\int _{\Gamma _{R}}{\frac {\mathrm {e} ^{i\,t\,z}}{z^{2}+\gamma ^{2}}}\,dz=2\,\pi \,i\,\mathrm {Res} (g,\,\gamma \,i)=2\,\pi \,i\,{\frac {\mathrm {e} ^{-\gamma \,t}}{2\,i\,\gamma }}={\frac {\pi }{\gamma }}\,\mathrm {e} ^{-\gamma \,t}}$.

Si ${\displaystyle t\geq 0}$, aleshores

${\displaystyle \int _{\Gamma _{R}}{\frac {\mathrm {e} ^{i\,t\,z}}{z^{2}+\gamma ^{2}}}\,dz\to 0}$ quan ${\displaystyle R\to +\infty }$.

En efecte : si ${\displaystyle t\geq 0}$ i ${\displaystyle \ R>\gamma }$,

${\displaystyle \forall \,z\in \Gamma _{R},\,\left|\mathrm {e} ^{i\,t\,z}\right|=\mathrm {e} ^{-t\,\mathrm {Im} (z)}\leq 1{\text{ i }}\left|z^{2}+\gamma ^{2}\right|\geq \left|\,|z|^{2}-\gamma ^{2}\right|=R^{2}-\gamma ^{2}}$,

i per tant, si ${\displaystyle R>\gamma }$ :

${\displaystyle \forall \,t\in \mathbb {R^{+}} ,\,\left|\int _{\Gamma _{R}}{\frac {\mathrm {e} ^{i\,t\,z}}{z^{2}+\gamma ^{2}}}\,dz\right|\leq \pi \,R\,\sup _{z\,\in \,\Gamma _{R}}{\frac {\left|\mathrm {e} ^{i\,t\,z}\right|}{\left|z^{2}+\gamma ^{2}\right|}}\leq \pi \,R\,{\frac {1}{R^{2}-\gamma ^{2}}}}$.

Per a tot real positiu t, passant al límit quan ${\displaystyle R\to +\infty }$, s'obté:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{i\,t\,x}}{x^{2}+\gamma ^{2}}}\,dx\,={\frac {\pi }{\gamma }}\,\mathrm {e} ^{-\gamma \,t}}$.

Altrament dit:

${\displaystyle \forall \,t\in \mathbb {R^{+}} ,\,\varphi _{X}(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }\mathrm {e} ^{i\,t\,x}\,{\frac {1}{\pi }}\,{\frac {\gamma }{x^{2}+\gamma ^{2}}}\,dx=\mathrm {e} ^{-\gamma \,t}}$.

Com que la distribució estudiada és simètrica, la funció ${\displaystyle \varphi _{X}}$ és parella, i se'n dedueix:

${\displaystyle \forall \,t\in \mathbb {R} ,\,\varphi _{X}(t)=\mathrm {e} ^{-\gamma \,|\,t\,|}}$, Q.E.D.

Alternativament, Cramer ^[1] proposa la següent demostració utilitzant que la funció característica d'una distribució de Laplace centrada en el 0 és la densitat d'una distribució de Cauchy simètrica (a part d'una constant multiplicativa) i la fórmula d'inversió per a funcions característiques integrables.

Concretament, si ${\displaystyle Y\sim {\text{Laplace}}{\Big (}0,{\frac {1}{\gamma }}{\Big )}}$ , hem calculat que la seva funció característica és $${\displaystyle \varphi _{Y}(t)={\frac {1}{1+{\frac {t^{2}}{\gamma ^{2}}}}}={\frac {\gamma ^{2}}{\gamma ^{2}+t^{2}}}.}$$ Aquesta funció característica és integrable: $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\bigg \vert }{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma ^{2}+t^{2}}}{\bigg \vert }\,dt=2\gamma ^{2}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\gamma ^{2}+t^{2}}}\,dt=2\gamma \,{\bigg [}\arctan {\frac {t}{\gamma }}{\bigg ]}_{0}^{\infty }=\gamma \,\pi .}$$ Aleshores, per la fórmula d'inversió per a funcions característiques integrables (vegeu més avall les fórmules d'inversió), la funció de densitat de ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle f_{Y}}$, val: $${\displaystyle f_{Y}(x)={\frac {\gamma }{2}}\,e^{-\gamma \vert x\vert }={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-itx}\varphi _{Y}(t)\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-itx}{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma ^{2}+t^{2}}}\,dt.}$$ D'aquí, $${\displaystyle e^{-\gamma \vert x\vert }={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-itx}{\frac {\gamma }{\gamma ^{2}+t^{2}}}\,dt.}$$O, intercanviant els noms de les variables, $${\displaystyle e^{-\gamma \vert t\vert }={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-itx}{\frac {\gamma }{\gamma ^{2}+x^{2}}}\,dx.}$$

Però l'expressió de la dreta és exactament la funció característica de la variable aleatòria ${\displaystyle X}$ amb distribució de Cauchy ${\displaystyle {\mathcal {C}}(0,\gamma )}$ avaluada en el punt ${\displaystyle -t}$, ${\displaystyle \varphi _{X}(-t)}$. Per tant,

$${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\varphi _{X}{\big (}-(-t){\big )}=e^{-\gamma \,\vert t\vert }.}$$

Sigui una variable aleatòria X amb distribució normal ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\,\sigma ^{2})}$ (on ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0}$). Aleshores:

${\displaystyle \forall \,t\in \mathbb {R} ,\,\varphi _{X}(t)=\mathrm {e} ^{i\,t\,\mu \,-{\frac {\sigma ^{2}\,t^{2}}{2}}}}$.

Sigui una variable aleatòria X amb distribució de Cauchy ${\displaystyle {\mathcal {C}}(m,\,\gamma )}$ (on ${\displaystyle m\in \mathbb {R} ,\gamma >0}$). Aleshores:

${\displaystyle \forall \,t\in \mathbb {R} ,\,\varphi _{X}(t)=\mathrm {e} ^{i\,m\,t\,-\,\gamma \,|\,t\,|}}$.

Com el seu nom ho indica, la funció característica d'una variable aleatòria (real) en caracteritza la distribució de probabilitat: dues variables aleatòries segueixen la mateixa distribució si i només si tenen la mateixa funció característica: és el teorema d'unicitat (vegeu infra).

Per aquesta raó, la funció característica d'una variable aleatòria X també és anomenada funció característica de la distribució d'X. Per exemple, es pot parlar de la funció característica de la distribució normal.

Fórmula d'inversió general. Donada una variable aleatòria real X, es denota per ${\displaystyle F_{X}}$ la seva funció de distribució. Per a tot parell ${\displaystyle (a,\,b)}$ de punts de continuïtat de ${\displaystyle F_{X}}$ es compleix la relació següent:

${\displaystyle F_{X}(b)-F_{X}(a)=\lim _{\tau \to +\infty }{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\tau }^{+\tau }{\frac {\mathrm {e} ^{-i\,t\,a}-\mathrm {e} ^{-i\,t\,b}}{i\,t}}\,\varphi _{X}(t)\,dt}$

Això és una variant probabilista del teorema d'inversió de la transformació de Fourier.

Quan la funció característica és integrable no cal fer el pas límit en la fórmula d'inversió i, a més, la variable aleatòria té funció de densitat que s'obté com la transformada de Fourier de la funció característica. Concretament, Fórmula de inversió per a funcions característiques integrables. Sigui ${\displaystyle X}$ una variable aleatòria real amb funció característica ${\displaystyle \varphi _{X}}$ tal que $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\vert \varphi _{X}(t)\vert \,dt<\infty .}$$Aleshores ${\displaystyle X}$ té funció de densitat ${\displaystyle f}$ donada per $${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-itx}\,\varphi _{X}(t)\,dt.}$$A més ${\displaystyle f}$ és contínua i afitada.

Comentaris.

1. Sigui X una variable aleatòria amb distribució normal estàndard ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$. Segons hem vist, la seva funció característica és ${\displaystyle \varphi (t)=e^{-t^{2}/2}}$, que és integrable ja que $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\big \vert }\varphi (t){\big \vert }\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dt={\sqrt {2\pi }}.}$$Per tant, per la fórmula d'inversió, $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-itx}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,dt.}$$

Aleshores, si definim la transformada de Fourier amb la constant normalitzadora ${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$,^[2] $${\displaystyle {\hat {h}}(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\ }e^{-itx}h(x)\,dx,}$$tindrem que la funció ${\displaystyle g(x)=e^{-x^{2}/2}}$ és invariant per la transformada de Fourier: $${\displaystyle {\hat {g}}=g.}$$

2. Hi ha moltes funcions de densitat que no són contínues o no són afitades, i llavors la seva funció característica no és integrable. Per exemple, la distribució exponencial de paràmetre ${\displaystyle \lambda >0}$, ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\lambda )}$, té funció de densitat

$${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}\lambda e^{-\lambda x},&{\mbox{per a }}x\geq 0,\\\\0,&{\mbox{altrament.}}\end{matrix}}\right.}$$

Aquesta funció té una discontinuïtat en el punt 0. La seva funció característica és $${\displaystyle \varphi (t)={\frac {\lambda }{\lambda -it}},}$$ que té mòdul $${\displaystyle {\bigg \vert }{\frac {\lambda }{\lambda -it}}{\bigg \vert }={\frac {\lambda }{\sqrt {\lambda ^{2}+t^{2}}}}.}$$Llavors,

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\vert \varphi (t)\vert \,dt=\lambda \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {\lambda ^{2}+t^{2}}}}\,dt=\lambda \,{\Big [}\ln(t+{\sqrt {\lambda ^{2}+t^{2}}}){\Big ]}_{0}^{\infty }=\infty .}$$

El teorema d'inversió permet reconstruir (almenys en teoria) la funció de distribució d'una variable aleatòria a partir de la seva funció característica. Una conseqüència és l'important teorema d'unicitat:

Dues variables aleatòries reals són idènticament distribuïdes si i només si tenen la mateixa funció característica.

Prova del teorema d'unicitat

Es recorda que les funcions de distribució són creixents, contínues per la dreta en tot punt de ${\displaystyle \mathbb {R} }$, tendeixen a 0 en ${\displaystyle -\infty }$ i a 1 en ${\displaystyle +\infty }$ (però no són necessàriament contínues en ${\displaystyle \mathbb {R} }$ : en particular, les funcions de distribució de les variables aleatòries discretes no ho són).

El teorema de la mesura imatge (vegeu aquí la relació (2)) té com a conseqüència immediata que si dues variables aleatòries X i Y són idènticament distribuïdes (és a dir ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}=\mathbb {P} _{Y}}$), aleshores ${\displaystyle \varphi _{X}=\varphi _{Y}}$.

Recíprocament, siguin dues variables aleatòries X i Y tals que ${\displaystyle \varphi _{X}=\varphi _{Y}}$. Aleshores, segons el teorema d'inversió, per a tot parell ${\displaystyle (a,\,b)}$ de punts de continuïtat de ${\displaystyle F_{X}}$ i ${\displaystyle F_{Y}}$ es compleix la relació següent:

${\displaystyle \ F_{X}(b)-F_{X}(a)=F_{Y}(b)-F_{Y}(a)}$

Ara bé, les funcions ${\displaystyle F_{X}}$, ${\displaystyle F_{Y}}$ són creixents, i per tant el conjunt dels punts de discontinuïtat de cadascuna és finit o numerable; per consegüent:

• existeix una successió ${\displaystyle (a_{n})_{n\,\in \,\mathbb {N} }}$ de punts de continuïtat de ${\displaystyle F_{X}}$ i ${\displaystyle F_{Y}}$ tal que ${\displaystyle a_{n}\to -\infty }$ ;

• per a tot real x existeix una successió ${\displaystyle (b_{m})_{m\,\in \,\mathbb {N} }}$ de punts de continuïtat de ${\displaystyle F_{X}}$ i ${\displaystyle F_{Y}}$ que convergeix cap a x per la dreta.

Per a tot parell ${\displaystyle (n,\,m)}$ d'enters naturals:

${\displaystyle \ F_{X}(b_{m})-F_{X}(a_{n})=F_{Y}(b_{m})-F_{Y}(a_{n})}$

Passant al límit quan ${\displaystyle n\to +\infty }$, com que ${\displaystyle \lim F_{X}(a_{n})=0{\text{ i }}\lim F_{Y}(a_{n})=0}$, se'n dedueix:

${\displaystyle \forall \,m\in \mathbb {N} ,\,F_{X}(b_{m})=F_{Y}(b_{m})}$

Finalment, passant al límit quan ${\displaystyle m\to +\infty }$, com que ${\displaystyle x_{m}\to x}$ per la dreta i que ${\displaystyle F_{X}}$, ${\displaystyle F_{Y}}$ són contínues per la dreta en tot punt:

${\displaystyle \forall \,x\in \mathbb {R} ,\,F_{X}(x)=F_{Y}(x)}$; altrament dit: ${\displaystyle \ F_{X}=F_{Y}}$.

Se sap que la igualtat ${\displaystyle \ F_{X}=F_{Y}}$ implica que X i Y tenen la mateixa distribució; això acaba la demostració.

El més sovint, el teorema d'unicitat s'utilitza de la manera següent per determinar la distribució de probabilitat d'una variable aleatòria real X: es calcula la funció característica ${\displaystyle \varphi _{X}}$ i es reconeix la funció característica d'una distribució clàssica que és, per tant, la distribució d'X (per exemple, vegeu infra la prova de l'estabilitat d'algunes distribucions de probabilitat).

Donades dues variables aleatòries reals independents X i Y (definides sobre el mateix espai de probabilitat), es compleix la relació següent:

${\displaystyle \forall \,t\in \mathbb {R} ,\,\varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\,\varphi _{Y}(t)}$.

En efecte,

${\displaystyle \forall \,t\in \mathbb {R} ,\,\varphi _{X+Y}(t)=\operatorname {E} \left(\mathrm {e} ^{i\,t\,(X+Y)}\right)=\operatorname {E} \left(\mathrm {e} ^{i\,t\,X}\,\mathrm {e} ^{i\,t\,Y}\right)}$.

Atès que X i Y són independents, també ho són, per a tot real t, les variables aleatòries ${\displaystyle \mathrm {e} ^{i\,t\,X}}$ i ${\displaystyle \mathrm {e} ^{i\,t\,Y}}$; per tant:

${\displaystyle \forall \,t\in \mathbb {R} ,\,\varphi _{X+Y}(t)=\operatorname {E} \left(\mathrm {e} ^{i\,t\,X}\right)\operatorname {E} \left(\mathrm {e} ^{i\,t\,Y}\right)=\varphi _{X}(t)\,\varphi _{Y}(t)}$.

Remarca: el recíproc és fals. Existeixen variables aleatòries no independents les funcions característiques de les quals compleixen aquesta relació. Heus aquí un exemple ben conegut: donada una variable aleatòria X amb distribució de Cauchy simètrica ${\displaystyle {\mathcal {C}}(0,\,\gamma )}$ :

${\displaystyle \forall \,t\in \mathbb {R} ,\,\varphi _{X+X}(t)=\varphi _{2X}(t)=\varphi _{X}(2\,t)=\mathrm {e} ^{-2\,\gamma \,|\,t\,|}=\mathrm {e} ^{-\gamma \,|\,t\,|}\,\mathrm {e} ^{-\gamma \,|\,t\,|}=\varphi _{X}(t)\,\varphi _{X}(t)}$

Però és clar que X i X no són independents.

Donades n variables aleatòries reals independents ${\displaystyle X_{1},\,X_{2},\,\dots ,X_{n}}$ (definides sobre el mateix espai de probabilitat), es compleix la relació següent:

${\displaystyle \forall \,t\in \mathbb {R} ,\,\varphi _{X_{1}+\,\cdots \,+X_{n}}(t)=\prod _{k=1}^{n}\varphi _{X_{k}}(t)}$

(per consegüent, el producte de funcions característiques també és una funció característica).

Se sap que la transformada de Fourier d'un producte de convolució és el producte ordinari de les transformades de Fourier.

Tenint en compte el teorema d'unicitat, la relació precedent s'interpreta així: si les variables aleatòries ${\displaystyle X_{1},\,X_{2},\,\dots ,X_{n}}$ són independents, aleshores:

${\displaystyle \mathbb {P} _{X_{1}+\,\cdots \,+X_{n}}=\mathbb {P} _{X_{1}}\star \cdots \star \mathbb {P} _{X_{n}}}$ : la distribució de probabilitat de la suma és el producte de convolució de les distribucions dels termes.

Per determinar la distribució de la suma, els dos punts de vista (producte de convolució de les distribucions de probabilitat, producte ordinari de les funcions característiques) són matemàticament equivalents. Tanmateix, el mètode de les funcions característiques és generalment més simple d'utilitzar.

Siguin n variables aleatòries reals independents ${\displaystyle X_{1},\,X_{2},\,\dots ,X_{n}}$.

• si per a tot k, ${\displaystyle X_{k}}$ segueix la distribució binomial ${\displaystyle {\mathcal {B}}(m_{k},\,p)}$, aleshores ${\displaystyle X_{1}+\cdots +X_{n}}$ segueix la distribució binomial ${\displaystyle {\mathcal {B}}(m_{1}+\cdots +m_{n},\,p)}$

• si per a tot k, ${\displaystyle X_{k}}$ segueix la distribució de Poisson ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\lambda _{k})}$, aleshores ${\displaystyle X_{1}+\cdots +X_{n}}$ segueix la distribució de Poisson ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n})}$

• si per a tot k, ${\displaystyle X_{k}}$ segueix la distribució normal ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu _{k},\,\sigma _{k}^{2})}$, aleshores ${\displaystyle X_{1}+\cdots +X_{n}}$ segueix la distribució normal ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu _{1}+\cdots +\mu _{n},\,\sigma _{1}^{2}+\cdots +\sigma _{n}^{2})}$

• si per a tot k, ${\displaystyle X_{k}}$ segueix la distribució de Cauchy ${\displaystyle {\mathcal {C}}(m_{k},\,\gamma _{k})}$, aleshores ${\displaystyle X_{1}+\cdots +X_{n}}$ segueix la distribució de Cauchy ${\displaystyle {\mathcal {C}}(m_{1}+\cdots +m_{n},\,\gamma _{1}+\cdots +\gamma _{n})}$

Prova de l'estabilitat

Provem (per exemple) la segona afirmació (la prova de les altres és anàloga):

${\displaystyle \forall \,t\in \mathbb {R} ,\,\varphi _{X_{1}+\,\cdots \,+X_{n}}(t)=\prod _{k=1}^{n}\varphi _{X_{k}}(t)=\prod _{k=1}^{n}\mathrm {e} ^{\lambda _{k}\,\left(\mathrm {e} ^{i\,t}-1\right)}=\mathrm {e} ^{\lambda \,\left(\mathrm {e} ^{i\,t}-1\right)}}$

on ${\displaystyle \lambda =\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}}$.

Es reconeix la funció característica de la distribució de Poisson ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\lambda )}$; segons el teorema d'unicitat, la variable aleatòria ${\displaystyle X_{1}+\,\cdots \,+X_{n}}$ segueix aquesta distribució.

Sigui una variable aleatòria real X.

Si el moment d'ordre m d'X existeix (finit), aleshores:

• la funció característica ${\displaystyle \varphi _{X}}$ és de classe ${\displaystyle \operatorname {C} ^{m}}$ en ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle \forall \,k\in \{0,\dots ,m\},\,\operatorname {E} \left(X^{k}\right)=(-i)^{k}\,\varphi _{X}^{(k)}(0)}$, i per tant:

• ${\displaystyle \forall \,t\in \mathbb {R} ,\,\varphi _{X}(t)=\left(\sum _{k=0}^{m}{\frac {i^{k}\,\operatorname {E} (X^{k})}{k\,!}}\,t^{k}\right)+t^{m}\,\varepsilon _{m}(t)}$, on ${\displaystyle \varepsilon _{m}(t)\to 0{\text{ quan }}t\to 0}$.

Si ${\displaystyle \varphi _{X}}$ és m vegades derivable en el punt 0, aleshores:

• per a tot natural k tal que ${\displaystyle \ 2\,k\leq m}$ el moment d'ordre k d'X existeix i:

• ${\displaystyle \operatorname {E} \left(X^{k}\right)=(-i)^{k}\,\varphi _{X}^{(k)}(0)}$