Espai vectorial normat

A matemàtica un espai vectorial es diu que és normat si s'hi pot definir una norma vectorial. Podem assenyalar els següents fets que ajuden a comprendre la importància del concepte d'espai normat:

• En un espai euclidià, la norma coincideix precisament amb la longitud del vector.
• Tot espai vectorial normat és un espai mètric amb la distància induïda per la norma.
• Si l'espai vectorial és a més complet es diu que és un espai de Banach.

Un espai vectorial V sobre un cos ${\displaystyle \mathbb {K} }$ en el qual es defineix un valor absolut (generalment ${\displaystyle \mathbb {R} }$ o ${\displaystyle \mathbb {C} }$) es diu que és normat si en ell es pot definir una norma, és a dir, una aplicació ${\displaystyle ||.||:V\rightarrow \mathbb {R} }$, que verifica:

1. No negativitat. Per a tot ${\displaystyle {\vec {x}}}$ de ${\displaystyle \mathbf {V} }$ la seva norma ha de ser positiva, i serà zero si i només si ${\displaystyle {\vec {x}}}$ és el vector zero: ${\displaystyle 0<||{\vec {x}}||}$ si ${\displaystyle {\vec {x}}\neq {\vec {0}}}$ i ${\displaystyle ||{\vec {x}}||=0\Longleftrightarrow {\vec {x}}={\vec {0}}}$.
2. Homogeneïtat. Per a tot ${\displaystyle {\vec {x}}}$ de ${\displaystyle \mathbf {V} }$ i per a tot k de ${\displaystyle \mathbb {K} }$ se satisfà que ${\displaystyle ||k{\vec {x}}||=|k|}$ · ${\displaystyle ||{\vec {x}}||}$ on ${\displaystyle |.|}$ és el mòdul o valor absolut.
3. Desigualtat triangular. Per a tots ${\displaystyle {\vec {x}}}$ e ${\displaystyle {\vec {y}}}$ de ${\displaystyle \mathbf {V} }$ es compleix que ${\displaystyle ||{\vec {x}}+{\vec {y}}||\leq ||{\vec {x}}||+||{\vec {y}}||}$.

Generalment es denotarà a ${\displaystyle (V,||.||)}$ l'espai vectorial normat i quan la norma sigui clara simplement per ${\displaystyle V}$.

• ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• L'espai euclidià ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.
• Les matrius quadrades d'ordre n sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$: ${\displaystyle M_{n}\left(\mathbb {R} \right)}$

En tot espai vectorial normat V es pot definir la distància ${\displaystyle d:V\times V\rightarrow \mathbb {R} }$:

${\displaystyle d(x,y):=||x-y||\,}$

amb la qual (V, d) és un espai mètric.

La distància és invariant per translació : si x, y, z són elements de V :

${\displaystyle d(x+z,y+z)=d(x,y)}$

Es compleixen els següents resultats (que generalment no són certes per a espais de dimensió infinita):

• Totes les normes definides en l'espai són equivalents, és a dir, defineixen la mateixa topologia. La convergència o divergència d'una successió no depèn de la norma escollida. El resultat no és cert per a espais de dimensió infinita sent sempre hi ha dues normes que no són equivalents.
• L'espai és complet, és a dir, és un espai de Banach. Com a conseqüència, tot subespai de dimensió finita d'un espai vectorial normat (no necessàriament de dimensió finita) és tancat.
• Teorema de Heine-Borel o teorema de Borel-Lebesgue. Un subconjunt de l'espai vectorial és compacte si i només si és tancat i acotat.
• Tot funcional lineal és continu (si l'espai vectorial normat té dimensió infinita, hi ha funcionals lineals no continus).
• Un espai vectorial normat és de dimensió finita si i només si la bola unitat és compacta.