Distribució normal complexa

Distribució normal complexa

Tipus	distribució de probabilitat

En teoria de probabilitats, la família de distribucions normals complexes, denotat ${\displaystyle {\mathcal {CN}}}$ o ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mathcal {C}}}$, caracteritza variables aleatòries complexes les parts reals i imaginàries de les quals són conjuntament normals. La família normal complexa té tres paràmetres: paràmetre de localització μ, matriu de covariància ${\displaystyle \Gamma }$, i la matriu de relacions ${\displaystyle C}$. La normal complex estàndard és la distribució univariada amb ${\displaystyle \mu =0}$, ${\displaystyle \Gamma =1}$, i ${\displaystyle C=0}$.

Una subclasse important de la família normal complexa s'anomena la normal complexa de simètrica circular (central) i correspon al cas de la matriu de relació zero i la mitjana zero: ${\displaystyle \mu =0}$ i ${\displaystyle C=0}$. Aquest cas s'utilitza àmpliament en el processament del senyal, on de vegades es coneix com a normal complex a la literatura.^[1]

La variable aleatòria normal complexa estàndard o la variable aleatòria gaussiana complexa estàndard és una variable aleatòria complexa ${\displaystyle Z}$ les parts reals i imaginàries de les quals són variables aleatòries independents distribuïdes normalment amb mitjana zero i variància ${\displaystyle 1/2}$ .^{[2] :p. 494 [3] :pp. 501} Formalment,

on ${\displaystyle Z\sim {\mathcal {CN}}(0,1)}$ denota això ${\displaystyle Z}$ és una variable aleatòria normal complexa estàndard.

Suposem ${\displaystyle X}$ i ${\displaystyle Y}$ són variables aleatòries reals de tal manera que ${\displaystyle (X,Y)^{\mathrm {T} }}$ és un vector aleatori normal bidimensional. A continuació, la variable aleatòria complexa ${\displaystyle Z=X+iY}$ s'anomena variable aleatòria normal complexa o variable aleatòria gaussiana complexa.^{[4] :p. 500}

Un vector aleatori complex n-dimensional ${\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{n})^{\mathrm {T} }}$ és un vector aleatori normal complex estàndard o un vector aleatori gaussià estàndard complex si els seus components són independents i totes són variables aleatòries normals complexes estàndard tal com es defineix anteriorment.^{[5] :p. 502 [6] :pp. 501}Això ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ és un vector aleatori normal complex estàndard es denota ${\displaystyle \mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,{\boldsymbol {I}}_{n})}$.

Si ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\mathrm {T} }}$ i ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\mathrm {T} }}$ són vectors aleatoris en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ de tal manera que ${\displaystyle [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}$ és un vector aleatori normal amb ${\displaystyle 2n}$ components. Aleshores diem que el vector aleatori complex

${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} \,}$

és un vector aleatori normal complex o un vector aleatori gaussià complex.