Constant d'Apéry
Tipus | constant matemàtica i nombre irracional ![]() |
---|---|
Epònim | Roger Apéry ![]() |
Propietats | |
Valor | 1,2020569031596 ![]() |
Altres numeracions | |
Fórmules | |
Expressió algebraica | ![]() |
La constant d'Apéry es defineix com el valor de la funció zeta de Riemann per a un valor de la variable igual a 3, ζ(3):
ζ(3) = 1,20205 69031 59594 28539 97381 61511 44999 ...
És a dir, la constant d'Apéry és el límit de la sèrie dels inversos dels cubs:
- .
El nom "constant d'Apéry" prové del fet que el matemàtic francès Roger Apéry demostrà, el 1979, que ζ(3) és irracional (proposició coneguda com a Teorema d'Apéry).
Cal destacar que la constant d'Apéry apareix en alguns problemes físics. Per exemple, apareix de manera natural en els termes de segon i tercer ordre de la raó giromagnètica de l'electró (el quocient entre el seu moment dipolar magnètic i el seu moment angular).
Expressions equivalents
Es coneixen diverses expressions equivalents a la constant d'Apéry, algunes de les quals hi convergeixen més ràpidament que la provinent de la sèrie dels inversos dels cubs.
Com a sèrie
Leonhard Euler fou el primer en enunciar que[1][2]
- .
L'any 1890 el matemàtic rus Andrei Màrkov enuncià que[3]
- .
El matemàtic indi Srinivasa Ramanujan va enunciar que[4]
- .
I en 1998 el matemàtic quebequès Simon Plouffe va enunciar que[5]
- .
És també notòria l'expressió[6]
L'any 2002 el matemàtic Géry Huvent demostrà que[6]
S'han trobat també expressions de la constant en forma de sèrie que permeten accelerar-ne l'aproximació. L'expressió següent tendeix a donar 1,43 nous decimals per terme[7]
- .
Aquesta tendeix a donar 3,01 nous decimals per terme[8]
- .
Aquesta altra tendeix a donar 3,92 nous decimals per terme[9]
- .
I aquesta tendeix a donar 5,04 nous decimals per terme[10][11]
- .
Com a integral
La constant d'Apéry és fàcilment expressable a partir de la integral[6]
- .
També pot expressar-se a partir d'integrals d'una sola variable, com per exemple amb la integral[12]
i amb les integrals[13]
- .
Un altre parell d'expressions interessants, com a integral de dues variables, és[14]
- .
A partir de la funció gamma
La constant d'Apéry també té expressions interessants a partir de les funcions gamma i poligamma, com per exemple[15]
Referències
- ↑ Euler, Leonhard «Exercitationes analyticae» (en llatí). Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae, 17, 1773, p. 173–204 [Consulta: 18 maig 2008].
- ↑ Srivastava, H. M.. Some Families of Rapidly Convergent Series Representations for the Zeta Functions. 4, desembre 2000, p. 569–599. DOI 10.11650/twjm/1500407293. OCLC 36978119 [Consulta: 22 agost 2015].
- ↑ Markov, A. A. «Mémoire sur la transformation des séries peu convergentes en séries très convergentes». Mém. De l'Acad. Imp. Sci. De St. Pétersbourg, t. XXXVII, No. 9, 1890, p. 18pp.
- ↑ Berndt, Bruce C. Ramanujan's notebooks, Part II. Springer, 1989.
- ↑ Plouffe, Simon. Identities inspired from Ramanujan Notebooks II, 1998.
- ↑ 6,0 6,1 6,2 Weisstein, Eric W., «Constant d'Apéry» a MathWorld (en anglès).
- ↑ Amdeberhan, Tewodros «Faster and faster convergent series for ». El. J. Combinat., 3, 1, 1996.
- ↑ Amdeberhan, Tewodros; Zeilberger, Doron «Hypergeometric Series Acceleration Via the WZ method». El. J. Combinat., 4, 2, 1997.
- ↑ Mohammed, Mohamud «Infinite families of accelerated series for some classical constants by the Markov-WZ method». Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, 7, 2005, p. 11–24. DOI: 10.46298/dmtcs.342.
- ↑ Wedeniwski, Sebastian. Simon Plouffe. The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places. Project Gutenberg, 2001.
- ↑ Wedeniwski, Sebastian. The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places, 13 desembre 1998.
- ↑ Jensen, Johan Ludwig William Valdemar «Note numéro 245. Deuxième réponse. Remarques relatives aux réponses du MM. Franel et Kluyver». L'Intermédiaire des Mathématiciens, II, 1895, p. 346–347.
- ↑ Blagouchine, Iaroslav V. «Rediscovery of Malmsten's integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results». The Ramanujan Journal, 35, 2014, p. 21–110. DOI: 10.1007/s11139-013-9528-5.
- ↑ Beukers, F. «A Note on the Irrationality of and ». Bull. London Math. Soc., 11, 3, 1979, p. 268–272. DOI: 10.1112/blms/11.3.268.
- ↑ Evgrafov, M. A.; Bezhanov, K. A.; Sidorov, Y. V.; Fedoriuk, M. V.. A Collection of Problems in the Theory of Analytic Functions [in Russian]. Moscow: Nauka, 1969.