Àlgebra de Witt

En matemàtiques, l'àlgebra de Witt complexa, que porta el nom d'Ernst Witt, és l'àlgebra de Lie de camps vectorials meromòrfics definits a l'esfera de Riemann que són holomòrfiques excepte en dos punts fixos. També és la complexificació de l'àlgebra de Lie de camps vectorials polinomials en un cercle, i l'àlgebra de Lie de derivacions de l'anell C [z, z⁻¹].^[1]

Hi ha algunes àlgebres de Lie relacionades definides sobre camps finits, que també s'anomenen àlgebres de Witt.^[2]

L'àlgebra complexa de Witt va ser definida per primera vegada per Élie Cartan (1909), i els seus anàlegs sobre camps finits van ser estudiats per Witt als anys trenta.^[3]

Una base per a l'àlgebra de Witt ve donada pels camps vectorials ${\displaystyle L_{n}=-z^{n+1}{\frac {\partial }{\partial z}}}$, per n in ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

El parèntesi de Lie de dos camps vectorials bàsics ve donat per

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}.}$

Aquesta àlgebra té una extensió central anomenada àlgebra de Virasoro que és important en la teoria de camps conformals bidimensionals i en la teoria de cordes.

Tingueu en compte que restringint n a 1,0,-1, s'obté una subàlgebra. Prenent el camp dels nombres complexos, això és només l'àlgebra de Lie ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ del grup Lorentz ${\displaystyle \mathrm {SO} (3,1)}$. Sobre els reals, és l'àlgebra sl (2,R) = su (1,1). Per contra, su (1,1) és suficient per reconstruir l'àlgebra original en una presentació.^[4]

n = -1 Camp vectorial de Witt

n = 0 Camp vectorial de Witt

n = 1 Camp vectorial de Witt

Sobre un camp k de característica p > 0, l'àlgebra de Witt es defineix com l'àlgebra de Lie de derivacions de l'anell

k [z]/z^p

L'àlgebra de Witt s'estén per L _m per a − 1 ≤ m ≤ p − 2.

n = -2 Camp vectorial de Witt

n = 2 Camp vectorial de Witt

n = -3 Camp vectorial de Witt